第六章 保形映射
第二节 分式线性函数及其映射性质
1、分式线性函数：
分式线性函数是指下列形状的函数：
w??z??, ?z??其中?,?,?,?是复常数，而且??????0。在??0时，我们也称它为整线性函数。
分式线性函数的反函数为
z???w??, ?w??它也是分式线性函数，其中(??)(??)????0。
注解1、当??0时，所定义的分式线性函数是把z平面双射到w平面，即把C双射到C的单叶解析函数；
??注解2、当??0时，所定义的分式线性函数是把C?{?}双射到C?{}的
??单叶解析函数；
注解3、我们可以把分式线性函数的定义域推广到扩充复平面C?。当??0?时，规定它把z??映射成w??；当??0时，规定它把z??,z??映射成
?w??,w??；则把C?双射到C?。 ?1把z?z0及f(z)现在把保形映射的概念扩充到无穷远点及其邻域，如果t?其一个邻域保形映射成t=0及其一个邻域，那么我们说w=f(z)把z?z0及其一个邻域保形映射成w??及其一个邻域。如果t?1把??0及其一个邻域保形
f(1/?)
映射成t=0及其一个邻域，那么我们说w=f(z)把z??及其一个邻域保形映射成
w??及其一个邻域。
注解4、分式线性函数把扩充z平面保形映射成扩充w平面。 注解5、区域、连通性等概念可以推广到扩充复平面。 一般分式线性函数是由下列四种简单函数叠合而得的： （1）、w?z??（?为一个复数）； （2）、w?ei?z（?为一个实数）； （3）、w?rz（r为一个正数）； （4）、w?1。 z事实上，我们有：
w?w??z?????(z?) (??0), ????z?????????? (??0), ?z????2(z??)?把z及w看作同一个复平面上的点，则有： （1）、w?z??确定一个平移； （2）、w?ei?z确定一个旋转；
（3）、w?rz确定一个以原点为相似中心的相似映射； （4）、w?11是由映射z1?及关于实轴的对称映射w?z1叠合而得。
zz2、分式线性函数的映射性质：
规定：在扩充复平面上，任一直线看成半径是无穷大的圆。 定理1 在扩充复平面上，分式线性函数把圆映射成圆。
证明：由于分式线性函数所确定的映射是平移、旋转、相似映射及w?1型z的函数所确定的映射复合而得，但前三个映射显然把圆映射成圆，所以只用证明映射w?1也把圆映射为圆即可。 z在圆的方程
a(x2?y2)?bx?cy?d?0,
（如果a=0，这表示一条直线）中，代入
x2?y2?zz,x?则得圆的复数表示：
z?zz?z,y?, 22iazz??z??z?d?0,
1其中a,b,c,d是实常数，??(b?ic)是复常数。
21函数w?把圆映射成为
zdww??w??w?a?0,
即w平面的圆（如果d=0，它表示一条直线，即扩充w平面上半径为无穷大的圆）。
设分式线性函数把扩充z平面上的圆C映射成扩充w平面上的圆C'。于是，
C及C'把这两个扩充复平面分别分成两个没有公共点的区域，D1,D2及D1',D2'，其边界分别是C及C'。则此分式线性函数把D1映射成D1',D2'之中的一个区域，但是究竟D1的象是D1'还是D2'，我们必须通过检验D1中某一个点的象来决定。
定理2 对于扩充 z平面上任意三个不同的点z1,z2,z3以及扩充 w平面上任意三个不同的点w1,w2,w3，存在唯一的分式线性函数，把z1,z2,z3分别映射成
w1,w2,w3。
证明：先考虑已给各点都是有限点的情形。设所求分式线性函数是
w?那么，由
w1?az?b, cz?daz1?baz?baz?b,w2?2,w2?2 cz1?dcz2?dcz2?d得
w?w1?(az?b)(cz1?d)?(az1?b)(cz?d)(z?z1)(ad?bc)?
(cz?d)(cz1?d)(cz?d)(cz1?d)同理，有：
w?w1?
(z?z1)(ad?bc)(z?z)(ad?bc)，w3?w1?31，
(cz?d)(cz1?d)(cz3?d)(cz1?d)
w3?w2?(z3?z2)(ad?bc)(z?z2)(ad?bc)，w?w2?，
(cz3?d)(cz2?d)(cz?d)(cz2?d)因此，有
w?w1w3?w1z?z1z3?z1:?:， w?w2w3?w2z?z2z3?z2由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。
其次，如果已给各点除w3??外都是有限点。则所求分式线性函数有下列的形式：
w?az?b,
c(z?z3)那么，由
w1?az1?baz2?b,w2?,
c(z1?z3)c(z2?z3)同理有
w?w1z?z1z3?z1?:， w?w2z?z2z3?z2由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。
z?z1z3?z1w?w1w3?w1::注解：和分别称为z1,z2,z,z3及w1,w2,w,w3的交z?z2z3?z2w?w2w3?w2比，分别记为(z1,z2,z,z3)及(w1,w2,w,w3)。
系1 在分式线性函数所确定的映射下，交比不变。
设一个分式线性函数把扩充 z平面上任意不同四点z1,z2,z3,z4映射成扩充 w平面上四点w1,w2,w3,w4，那么
(z1,z2,z3,z4)?(w1,w2,w3,w4)。
定理3 扩充 z平面上任何圆，可以用一个分式线性函数映射成扩充 w平面上任何圆。
证明：设C是z平面上的一个圆，C'是w平面上的一个圆，在C和C'上分别取三个不同的点z1,z2,z3和w1,w2,w3，由定理4.2，存在一个分式线性函数，把
z1,z2,z3映射成w1,w2,w3，从而把圆C映射成圆C'。
设已给圆C:|z?z0|?R(0?R???)，如果两个有限点z1及z2在过z0的同一射线上，并且
|z1?z0||z2?z0|?R2，
那么我们说z1及z2是关于圆C的对称点。
注解1、圆C上的点是它本身关于圆C的对称点； 注解2、规定z0及?是关于圆C的对称点； 注解3、利用此定理也可以解释关于直线的对称点。
引理2 不同两点z1及z2是关于圆C的对称点的必要与充分条件是：通过z1及
z2的任何圆与圆C直交。
证明：如果C是直线（半径为无穷大的圆）；或者C是半径为有限的圆，z1及
z2之中有一个是无穷远点，则结论显然。
现在考虑圆C为|z?z0|?R(0?R???)，而z1及z2都是有限的情形。 （必要性） 设z1及z2关于圆C的对称，那么通过z1及z2的直线（半径为无穷大的圆）显然和圆C直交。作过z1及z2的任何圆（半径为有限）C'。过z0作圆C'的切线，设其切点是z'。于是
|z'?z0|2?|z1?z0||z2?z0|?R2，
从而|z'?z0|?R。这说明z'?C，而上述C'的切线恰好是圆C的半径，因此C与
C'直交。
（充分性） 过z1及z2作一个圆（半径为有限）C'，与C交于一点z'。由于圆C与C'直交，C'在z'的切线通过圆C的心z0。显然，z1及z2在这切线的同一侧。又过z1及z2作一直线L，由于L与C直交，它通过圆心z0。于是z1及z2在通