2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

学习目标：1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2.会运用向量坐标运算求解与向量垂直、夹角等相关问题．(难点)3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．平面向量数量积的坐标表示：

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.

数量积 向量垂直 a·b＝x1x2＋y1y2 a⊥b?x1x2＋y1y2＝0 222.向量模的公式：设a＝(x1，y1)，则|a|＝x1＋y1. →3．两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x2－x1

2

＋y2－y1

2

.

4．向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b 夹角为θ，则

a·bx1x2＋y1y2

cos θ＝＝2. 22

|a||b|x1＋y1x2＋y22

[基础自测]

1．思考辨析

(1)两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a，b的夹角为0°.( )

(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b?x1x2－y1y2＝0.( )

(3)若两个向量的数量积的坐标和小于零，则两个向量的夹角一定为钝角．( ) [解析] (1)×.因为当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b的夹角也可能为180°. (2)×.a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

(3)×.因为两向量的夹角有可能为180°. [答案] (1)× (2)× (3)×

2．已知a＝(2，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝________，|a＋b|＝________. 1 25 [a·b＝2×2＋(－1)×3＝1，a＋b＝(4,2)，|a＋b|＝4＋2＝25.] 3．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，m)，若a⊥b，则m＝________. 2

[因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0， 3

2

解得m＝.]

3

4．已知a＝(3,4)，b＝(5,12)，则a与b夹角的余弦值为________． 632222

[因为a·b＝3×5＋4×12＝63，|a|＝3＋4＝5，|b|＝5＋12＝13， 65

22所以a与b夹角的余弦值为

a·b6363

＝＝.] |a||b|5×1365

[合 作 探 究·攻 重 难]

平面向量数量积的坐标运算 (1)如图2-4-4，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点E为BC的中点，点F在

→→→→

边CD上，若AB·AF＝2，则AE·BF的值是________．

图2-4-4

(2)已知a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. ①求a的坐标；

②若c＝(2，－1)，求a(b·c)及(a·b)c.

[思路探究] (1)建系→

求有关点、向

→求数量积

量的坐标

(2) ①先由a＝λb设点a坐标，再由a·b＝10求λ. ②依据运算顺序和数量积的坐标公式求值．

(1)2 [(1)以A为坐标原点，AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，

则B(2，0)，D(0,2)，C(2，2)，E(2，1)．

→→

可设F(x,2)，因为AB·AF＝(2，0)·(x,2)＝2x＝2， →→

所以x＝1，所以AE·BF＝(2，1)·(1－2，2)＝2. (2)①设a＝λb＝(λ，2λ)(λ＞0)， 则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2， ∴a＝(2,4)．

②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10， ∴a(b·c)＝0a＝0，

(a·b)c＝10(2，－1)＝(20，－10)．] [规律方法] 数量积运算的途径及注意点

进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有

两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算.

对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应

点的坐标即可求解.

[跟踪训练]

1．(1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c＝( ) A．(－15,12) C．－3

B．0 D．－11

(2)已知a＝(2，－1)，b＝(3,2)，若存在向量c，满足a·c＝2，b·c＝5，则向量c＝________.

?94?(1)C (2)?，? [(1)依题意可知，a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)，∴(a＋

?77?

2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－5×3＋6×2＝－3.

(2)设c＝(x，y)，因为a·c＝2，b·c＝5，

??2x－y＝2，所以?

?3x＋2y＝5，?

9

x＝，??7解得?4

y＝??7，

?94?所以c＝?，?.]

?77?

向量模的坐标表示 (1)设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|2a－b|等于

( )

A．4 C．35

B．5 D．45

(2)若向量a的始点为A(－2,4)，终点为B(2,1)，求： ①向量a的模；

②与a平行的单位向量的坐标； ③与a垂直的单位向量的坐标.

【导学号：84352253】

[思路探究] 综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解． (1)D [(1)由y＋4＝0知

y＝－4，b＝(－2，－4)，

∴2a－b＝(4,8)，∴|2a－b|＝45.故选D. →

(2)①∵a＝AB＝(2,1)－(－2,4)＝(4，－3)， ∴|a|＝4＋－

2

2

＝5.