数据作为研究对象，如下图所示（（吨）为该商品进货量， （天）为销售天数）：
（Ⅰ）根据上表数据在下列网格中绘制散点图；
2 1 3 2 4 3 5 3 6 4 8 5 9 6 11 8
（Ⅱ）根据上表提供的数据，求出关于的线性回归方程；
（Ⅲ)在该商品进货量（吨）不超过6（吨）的前提下任取两个值，求该商品进货量（吨）恰有一个值不超过3（吨）的概率.
参考公式和数据： ,.
【答案】（1）见解析（2）（3）
【解析】分析：（Ⅰ）在平面直角坐标系中画出对应的散点图即可．
（Ⅱ）根据公式先计算，再根据得到．
（Ⅲ)通过枚举法可得基本事件的总数为10个，而随机事件“该商品进货量（吨）恰有一个值不超过3（吨）”所含的基本事件有个，故所求概率为． 详解：（Ⅰ）散点图如图所示：
（Ⅱ）依题意，
．
，
，
故，回归直线方程为．
（Ⅲ) 由题意知，在该商品进货量不超过6吨共有5个，设为编码1，2，3，4，5号，任取两个有（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（2，3）（2，4）（2，5）（3，4）（3，5） （4，5）共10种，该商品进货量不超过3吨的有编号1，2号，超过3吨的是编号3，4，5号，该商品进货量恰有一次不超过3吨有（1,3）（1,4）（1,5）（2,3）（2,4）(2,5)共6种，故该商品进货量恰有一次不超过3吨的概率为点睛：线性回归方程所表示的直线必经过
．
．另外，古典概型的概率计算往往涉及到基
本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的总数的计算，可用枚举法来计算它们，注意枚举时要遵循一定的规律，做到不重不漏． 20. 已知椭圆E:角形.
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）如图，若直线l与椭圆相交于AB且AB是圆的标准方程.
的一条直径，求椭圆E
，若椭圆上一点与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三
【答案】（1）（2）
，代入椭圆方程得到
的
【解析】分析：（Ⅰ）根据题设中的等腰直角三角形可以得到关系，可从中解得离心率．
（Ⅱ）因
为圆的直线，故弦
的长度和中点已知，通过设交点的坐标和直线的方程，
联立直线方程和椭圆方程并消元后利用韦达定理得到中点坐标与斜率的关系，最后再通过弦长为
得到的大小．
，
详解：（Ⅰ）由题意得椭圆上的点坐标为
代入椭圆方程可得，即，
∴，∴，∴．
（Ⅱ）设椭圆方程为，直线为，，
由 得（*）
故，．
又，故 ，
则，
故， ，椭圆方程为.
的一个等式．对于圆锥曲线中的中
点睛：圆锥曲线的离心率的计算，关键是找到关于
点弦问题，我们可以用韦达定理来沟通中点与直线方程中的参数的关系，也可以用点差法来沟通圆锥曲线基本量、中点坐标及弦所在直线的斜率三者之间的关系．
21. 已知函数（Ⅰ）若（Ⅱ）若
的图像与直线
且函数
相切，求
的零点为,
设函数试讨论函数的零点个数.（为自然常数）
【答案】（1）（2）有两个不同的零点
，故可以关于
的方程组，从该方程组解得可得
上的单调性，结合
的零点
．又
利．
【解析】分析：（Ⅰ）设切点坐标为
（Ⅱ）因
，故
为减函数，结合在
是分段函数，故分别讨论用零点存在定理得到详解：（Ⅰ）设切点
有两个不同的零点． ，所以
，故
，从而
又切点在函数解得（Ⅱ）若
因为故当因为当当则所以
在在． 时，，
上，所以． 且函数，
即，故，
的零点为， ，
为
上的减函数，
，
， 时，时，
； ，
上单调递减，则
,
上单调递增，上单调递减．
当所以
时，在区间
，
上单调递增．
又，且；
又，
所以函数综上，
在区间上存在一个零点， 在区间上存在一个零点．
有两个不同的零点．
点睛：处理切线问题的核心是设出切点坐标，因为它的横坐标沟通了切线的斜率和函数在该值处的导数．零点问题需要利用导数明确函数的单调性，再结合零点存在定理才能判断函数零点的个数．
22. [选修4—4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系中，已知曲线
的参数方程为
为参数以原点为极点x轴正半，直线的极坐标方程为
．
轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：
（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程，并指出它是何种曲线； （Ⅱ）设与曲线交于【答案】（1）
【解析】分析：（Ⅰ）先利用
得到的极坐标方程为（Ⅱ）直线过极点，因此利用韦达定理得到
两点，与曲线交于
,以
两点，求四边形
面积的取值范围．
，在利用
为圆心，为半径的圆．（2）得到的直角方程为
．
，联立直线的极坐标方程和曲线的极坐标方程，，同理也能得到
，这样得到四边形
的面积表达式后就可以求面积的最大值． 详解：（Ⅰ）由
（为参数）消去参数得：
，
，
将曲线的方程化成极坐标方程得：∴曲线是以（Ⅱ）设故
，
为圆心，为半径的圆．
，由与圆联立方程可得
．
，