1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

一、教学目标

1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数． 二、预习导学

复习五种常见函数y?c、y?x、y?x2、y? 函数 y?c

y?x

y?x2

1

y? x y?x y?f(x)?xn(n?Q*)

三、问题引领，知识探究

1（1）基本初等函数的导数公式表

函数 导数 1

、y?x的导数公式及应用 x

y'?0 y'?1 y'?2x y'??1 x2y??12x y'?nxn?1 导数 y?c y'?0 y'?nxn?1 y'?cosx y'??sinx y'?ax?lna(a?0) y'?ex f(x)?logaxf'(x)?1(a?0且a?1) xlnay?f(x)?xn(n?Q*) y?sinx y?cosx y?f(x)?ax y?f(x)?ex f(x)?logax

f(x)?lnx f'(x)?1 x（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数． （1）y?x2与y?2x

（2）y?3x与y?log3x

2.（1）导数的运算法则 导数运算法则 ''1．?f(x)?g(x)??f(x)?g(x) ''2．?f(x)?g(x)??f(x)g(x)?f(x)g(x) ''?f(x)?f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?(g(x)?0) 3．??2?g(x)??g(x)?

'推论：?cf(x)??cf(x)

'' （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.

（2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）y?x?2x?3

（2）y?x?sinx；

（3）y?(2x?5x?1)?e； （4）y?2x3x； 4x

【点评】

① 求导数是在定义域内实行的．

② 求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． 典例精讲

例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间

t（单位：年）有如下函数关系p(t)?p0(1?5%)t，其中p0为t?0时的物价．假定某种商品的p0?1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到

0.01）？

分析：商品的价格上涨的速度就是函数关系p(t)?(1?5%)t的导数。 解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(t)?1.05tln1.05

所以p'(10)?1.0510ln1.05?0.08（元/年）

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．

变式训练1：如果上式中某种商品的p0?5，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？ 解：当p0?5时，p(t)?5(1?5%)t，

根据基本初等函数导数公式和求导法则，有p'(t)?5?1.05tln1.05

所以p'(10)?5?1.0510ln1.05?0.4（元/年）

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.4元/年的速度上涨．

例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为

c(x)?5284(80?x?100)

100?x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90% （2）98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．

（1）

5284'5284'?(100?x)?5284?(100?x)' c(x)?()?2100?x(100?x)52840?(100?x)?5284?(?1)?? (100?x)2(100?x)25284'?52.84，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时因为c(90)?(100?90)2'变化率是52.84元/吨．

（2）

因为c(98)?'5284?1321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变2(100?90)化率是1321元/吨．

点评 函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可