课时作业52 椭圆
一、选择题
x2
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另
3外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
2
A．23 C．43
B．6 D．12
解析：由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝43.
答案：C
xy4
2．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )
94＋k5
2
2
A．－21 C．－或21
解析：若a＝9，b＝4＋k，则c＝5－k， c45－k419
由＝，即＝，解得k＝－； a53525若a＝4＋k，b＝9，则c＝k－5， c4k－54若＝，即＝，解得k＝21. a54＋k5答案：C
2
2
2
2
B．21 D.或21
19
25
1925
xy
3．(2017·湖北八校联考)设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线
95|PF2|
段PF1的中点在y轴上，则的值为( )
|PF1|
22
A. C.
49
514
B. D. 59
513
解析：由题意知a＝3，b＝5，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2，∵OM⊥F1F2，
1
b513|PF2|
∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝＝.又∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝，∴
a33|PF1|535
＝×＝，故选B. 31313
答案：B
4．(2016·新课标全国卷Ⅰ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l1
的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
4
2
A. C.
23
13
B. D. 34
12
解析：解法1：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得
2
122222＝×2b，解得b＝3c，又b＝a－c，22
b＋c4
bc
c11112
所以2＝，即e＝，所以e＝(e＝－舍去)，故选B.
a4422
解法2：不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(－c,0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx－cy＋bc＝0，由已知得1bc1c1
＝×2b，所以＝×2b，所以e＝＝，故选22
a4a2b＋c4bc
B.
答案：B
x2
5．已知椭圆＋y＝1的左、右焦点分别为F1，F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作
4
→
→
2
垂直于A1A2的直线，与椭圆的一个交点为P，则使得PF1·PF2<0的点M的概率为( )
A.C.
2 26 3
→
2
B.
22
312
D. →
→
→
解析：设P(x，y)，PF1＝(－c－x，－y)，PF2＝(c－x，－y)，∵PF1·PF2＝(－c－x，3x2626?x?－y)·(c－x，－y)＝x＋y－c＝x＋?1－?－3＝－2<0，∴－ 2 2 2 2 2 26 2×36 PF1·PF2<0的点M的概率为＝. 2×23→ →答案：C 2 xy 6．(2017·湖北武昌调研)已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左焦点F(－c,0)关于直线bx＋ abcy＝0的对称点P在椭圆上，则椭圆的离心率是( ) 22 A.C. 2 43 3 B.D. 3 42 2 解析：设左焦点F(－c,0)关于直线bx＋cy＝0的对称点为P(m，n)，则n?b?·?－?＝－1，??m＋c?c??m－cn??b·2＋c·2＝0 ? nc??＝，?m＋cb??bm－bc＋nc＝0， 2 bc－c 所以m＝22＝b＋c －2e2a 2 232 －2c2ac 2 cb＋bc2bc ＝(1－2e)c，n＝22＝2b＋ca 2 24 222 22 ＝2be.因为点P(m，n)在椭圆上，所以4e＋e－1＝0，将各选项代入知e＝ 答案：D 二、填空题 6 2 4be2224 ＋2＝1，即(1－2e)e＋4e＝1，即 b 2 符合，故选D. 2 xy 7．直线x－2y＋2＝0过椭圆2＋2＝1的左焦点F1和一个顶点B，则椭圆的方程为 ab________． 解析：直线x－2y＋2＝0与x轴的交点为(－2,0)，即为椭圆的左焦点，故c＝2. 直线x－2y＋2＝0与y轴的交点为(0,1)， 即为椭圆的顶点，故b＝1. x2 故a＝b＋c＝5，椭圆方程为＋y＝1. 5 2 2 2 2 22 x2 答案：＋y＝1 5 π 8．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA＝，若AB＝4，BC＝2，则椭圆的 4两个焦点之间的距离为________． xyπ 解析：如图，设椭圆的标准方程为2＋2＝1，由题意知，2a＝4，a＝2，∵∠CBA＝， ab4 2 2 2 3