习题2

2.1 （2）抛掷一颗匀称质骰子两次， 以X表示前后两次出现点数之和，求X的概率分布，并验证其满足（2.2.2）式。

2.1解：样本空间为???(1,1),(1,2),...,(16),(2,1),....,(6,6)?，且每个样本点出现的概率均为

1，X的所有可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，且有 3612,P(X?3)?P?(1,2),(2,1)??,3636

3P(X?4)?P?(1,3),(3,1),(2,2)??36P(X?2)?P?(1,1)??4565,P(X?6)?,P(X?7)?,P(X?8)?, 363636364321,P(X?10)?,P(X?11)?,P(X?12)?, P(X?9)?36363636类似地P(X?5)?X的概率分布为

Xpk1223451111361812965367168910111251111 369121836满足：

?P(X?k)?k?261?2?3?4?56?2?5?6/2?2??1 363636?k2.2设离散随机变量X的概率分布为 P?X?k??ae2.2解：由于1?， k=1，2,?，试确定常数a.

?P(X?k)??aek?1k?1???k1?e?1e?1?e?1 ，故a??a?1?1e1?e

2.3 甲、乙两人投篮，命中率分别为0.7,和0.4，今甲、乙两人各投篮两次，求下列事件的概率：

（1）两人投中的次数相同 ； （2）甲比乙投中的次数多。

2.3解：设X,Y分别为甲、乙投中的次数，则有X~B(2,0.7),Y~B(2,0.4)，因此有

kkP(X?k)?C2(0.7)k(0.3)2?k,P(Y?k)?C2(0.4)k(0.6)2?k,k?0,1,2

（1） 两人投中次数相同的概率为

P(X?Y)??P(X?k)P(Y?k)?0.3142

k?02（2） 甲比乙投中次数多的概率为

P(X?Y)??P(X?k)P(Y?k)?P(X?1)P(Y?0)?P(X?2)[P(Y?0)?P(Y?1)]k?02?0.56282.4设离散随机变量X的概率分布为 P?X?k??1， k=1，2，?.求 2k（1）P?X?2,4,6,...?； （2）P?X?2.5?；

1?2?36??0.4 15151?23??0.2 （2）P?0.5?X?2.5??P(X?1)?P(X?2)?1515k2.5设离散随机变量X的概率分布为 P?X?k??， k=1，2，3，4，5.求

151?X?3??P(X?1)?P(X?2)?P(X?3)?2.4解：（1）P?（1）P?1?X?3?； （2）P?0.5?X?2.5?；

?12.5解：（1）P?X?2,4,6,...???P(X?2k)??2k??1k?1/4?1

1?1/43k?1k?12k?14??? （2）P(X?3)??P(X?k)??k?311/81???0.25 k1?1/24k?32?2.6 设事件A在每次试验中发生的概率为0.4，当A发生3次或3次以上时，指示灯发出信

号，求下列事件的概率.

（1）进行4次独立试验，指示灯发出信号； （2）进行5次独立试验，指示灯发出信号；

2.6解：设X为4次独立试验时事件A发生的次数，设Y为5次独立试验时事件A发生的次数，则有X~B(4,0.4),Y~B(5,0.4) （1）所求概率为：

34P(X?3)?P(X?3)?P(X?4)?C40.43(1?0.4)4?3?C40.44(1?0.4)4?4?4?0.4?0.6?0.4?0.1792（2）所求概率为：

34

3P(Y?3)?P(Y?3)?P(Y?4)?P(Y?5)?C50.43(1?0.4)5?3?C540.44(1?0.4)5?4?C0.4(1?0.4)5555?5?10?0.4?0.6?5?0.4?0.6?0.4?0.317443245

2.7 某城市在长度为t（单位：小时）的时间间隔内发生火灾的次数X服从参数为0.5t的泊松分布，且与时间间隔的2无关，求下列事件的概率. （1）某天中午12点到下午15点末发生火灾；

（2）某天中午12点到下午16点至小发生两次火灾。 2.7解：（1）设X为中午12点到下午15点发生火灾的次数，根据题意可知，X服从参数为??3?0.5?1.5的泊松分布，所求概率为

1.50?1.5P(X?0)?e?e?1.5?0.22313

0!（2）设Y为中午12点到下午16点发生火灾的次数，根据题意可知，Y服从参数为??4?0.5?2的泊松分布，所求概率为

P(Y?2)?1?P(Y?1)?1?[P(Y?0)?P(Y?1)] 20?221?2?2?1?e?e?1?3e?0.593990!1!2.8 为保证设备正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员，现有同类设备180台，且各

设备工作相互独立，任一时间设备发生故障的概率都是0.01。假定一台设备由一人进行修理，问至小配备多小设备维修人员，才能保证设备发生故障后得到及时维修的概率不小于0.99？.

2.8解：设X为180台机器同时发生故障的台数，则X~B(180,0.01)?P(1.8)，设需要n个维修人员才能保证P?X?n??0.99，即P(X?n?1)?0.01，现在

?1.8k?1.8P(X?k)?e，于是?P(X?k)?0.1，查表得n?1?7,n?6，即6个维修人

k!k?n?1员可满足要求。其它

2.9 某种元件的寿命X(单位：小时)的概率密度函数为：

?1000,?f(x)??x2??0,x?1000,

x?1000.求5个元件使用1500小时后，恰有2个元件失效的概率。 2.9解：设事件A为元件寿命大于1500小时，则

p?P(A)?P(X?1500)???1500f(x)dx??10001000?10002dx??|?? 15001500x2x15003?设Y为5个元件中寿命不大于1500小时的元件个数，则Y~B(5,1/3)，所求概率为：

P(Y?2)?C(1/3)(1?1/3)2525?212380?10??3?

992432.10 设某地区每天的用电量X(单位：百万千瓦)是一连续型随机变量，概率密度函数为： f(x)??x(1?x?120?0,),其它?0x?1 .假设每天供电量仅有80万千瓦时，求该地区每天的供电量不足的概率。若每天供电量上升到90万千瓦时，每天的供电量不足的概率是多小？

2.10解：（1）若供电量为80万千瓦小时，则供电量不足的概率为：

P(X?0.8)??f(x)dx??12x(1?x)2dx??12(x?2x2?x3)dx?0.0272

0.80.80.8?11（2）若供电量为90万千瓦小时，则供电量不足的概率为：

P(X?0.9)??f(x)dx??12x(1?x)dx??12(x?2x2?x3)dx?0.0237

0.90.90.9?121

2.11设随机变量K~U(?2,4)，求方程x?2Kx?2K?3?0有实根的概率.

2.11解：K的密度函数为：

2?1?,?2?x?4,f(x)??6

?其他，?0,则方程有实根的概率为：

p?P4K2?4(2K?3)?0?PK2?2K?3?0?P?(K?1)(K?3)?0? ?P?(K?1)?0,(K?3)?0??P?(K?1)?0,(K?3)?0??P(K?3)?P(K??1)??43?111111dx??dx????266663????2.12 设某型号的飞机雷达发射管的寿命X（单位：小时）服从参数为0.005的指数分布，

求下列事件的概率：

（1）发射管的寿命不超过100小时； （2）发射管的寿命超过300小时。

（3）一只发射管的寿命不超过100小时，另一只发射管的寿命在100至300小时之间。 2.12解：X的密度函数为：

?1?x/200?e,x?0,f(x)??200

?0,x?0?（1） 所求概率为 P(X?100)?（2） 所求概率为 P(X?300)?100?0f(x)dx??e?x/200|100?1?e?0.5?0.39341 0??300?f(x)dx??e?x/200|300?e?1.5?0.22313

（3） 由于两个事件相互独立，故所求概率为 P(X?100)P(100?X?300)?[1?e?0.5][e?0.5?e?1.5]?0.15

2.13 设每人每次打电话的时间X（单位：分钟）服从参数为0.5的指数分布，求282人次

所打电话中，有两次或两次以上超过10分钟的概率。

2.13解：设A为事件“打电话时间超过10分钟”，X为打电话时间，则X服从参数??0.5的指数分布，即X~Exp(0.5)，于是

?p?P(A)?P(X?10)??f(x)dx??0.5e?0.5xdx??e?0.5x|10?e?5?0.00674

1010??设Y为282人中“打电话时间超过10分钟”的人次，则Y~B(282,p)?P(282p)?P(1.9)。所求概率为

P(Y?2)?1?P(Y?1)?1?P(Y?0)?P(Y?1)?1?e?1.9?1.9e?1.9?1?2.9e?1.9?0.56625

2.14 某高校女生的收缩压X（单位：毫米汞柱）服从N(110,122),求该校某名女生： （1）收缩压不超过105的概率；

（2）收缩压在100至120之间的概率。 2.14解：（1）收缩压不超过105的概率为：

?105?110?P(X?105)?F(105)??????(?0.42)?1??(0.42)?1?0.6628?0.337210??（2）收缩压在100至120之间的概率为：

?120?110??100?110?P(100?X?120)?F(120)?F(100)???????? 1010??????(0.83)??(?0.83)?2?(0.83)?1?2?0.7967?1?0.59342.15 公共汽车门的高度按成年男性与车门碰头的机会不超过0.01设计的，设成年男性的身高X（单位：厘米）服从正态分布N(170,6)，问车门的最低高度应为多小？ 2.15解：设车门最低高度为a，则P(X?a)?0.01，即

21?P(X?a)?0.01F(a)?P(X?a)?0.99 ?a?170?????0.99?6?反查标准正态分布函数表得(a?170)/6?2.33，即a?170?6?2.33?183.98?184，即车门最低高度为184厘米。

2.16 .20同类型产品中有2件次品，其余为正品，今从该20件产品中每次任取4次，每次只取1件，取后不放回，以X表示4次取到正品的件数，求X的分布律与分布函数.

2.16解：这是一个超几何分布问题，即X的概率分布为