k4?kC2C18pk?P(X?k)?,k?0,1,2 4C20即X的分布律为

04?04C2C18C1860p0?P(X?0)???4495C20C2014?134C2C182C1832 p1?P(X?0)???4495C20C2024?22C2C18C183p2?P(X?0)???4495C20C20X 0 1 2 pk X的分布函数为： 60 9532 953 95x?0?0,?60,0?x?1??95 F(x)?P(X?x)??92?,1?x?2?95?x?2?1,

2.17 .袋中有同类型的小球5只，编号分别为1,2,3,4,5，今在袋中任取小球3只，，以X表示3总小球的最小号码，求随机变量X的分布律与分布函数.

2.17解：X的所有可能取值为1，2，3，其概率分布为

2C46P(X?1)?3?,C510P(X?2)?C3?,10C2335

P(X?3)?X 1 2 11?, 3C5103 pk X的分布函数为：

6 103 101 10x?1?0,?6,1?x?2??10 F(x)?P(X?x)??9?,2?x?3?10?x?3?1,

2.18.设连续型随机变量X的分布函数为

0,x?1,??F(x)??lnx,1?x?e?1,x?e?

（1）求P?X?2?, P?0?X?3?,P?2?X?2.5?.. （2）求X的密度函数.

2.18解：(1) 因为X是连续型随机变量，故

P(X?2)?P(X?2)?F(2)?ln2?0.69315, P(0?X?3)?P(0?X?3)?F(3)?F(0)?1?0?1,P(2?X?2.5)?F(2.5)?F(2)?ln2.5?ln2?ln1.25?0.22314（2）X的密度函数为

x?1,?0,?1?1?,1?x?e, f(x)?F'(x)??,1?x?e,??x?x?其他，?0,0,x?e?2.18.设连续型随机变量X的分布函数为

x???2,x?0 F(x)??a?be?x?0?0,2（1）求常数a和b,（2）求X的概率密度函数，（3）求P(ln4?X?ln16)

2.19解：（1）由于1?F(??)?limF(x)?a，得a?1，又由于F(x)在x?0点右连续，

x???可得0?F(0)?limF(x)?a?b，即得a?b?0,b??1

x??0（2）X的密度函数为

??xe?x/2,x?0,f(x)?F'(x)??

?x?0?0,（3）因为X是连续型随机变量，故

2P(ln4?X?ln16)?F(ln16)?F(ln4)?1?e?eln12?ln162?eln14ln4???2????1?e???

?111???0.252442.20.设型随机变量X的概率分布为： ?/2 0 X ? 0.4 3?/2 0.1 pk 0.3 0.2 求型随机变量Y的概率分布:

(1) Y?(2X??)2, (2) Y?COS(2X??). 2.20解：（1）由X的分布律得 0 X ?/2 0.2 ? 0.4 3?/2 0.1 pk Y 0.3 ?2 0 ?2 4?2 于是即得Y?(2X??)2的分布律：

Y 0 0.2 ?2 0.7 4?2 0.1 pk (2) 由X的分布律得 X 0 0.3 ?/2 0.2 1 ? 0.4 3?/2 0.1 1 pk Y ?1 ?1 于是即得Y?COS(2X??)的分布律：

Y ?1 0.7 1 0.3 pk 2.21.设型随机变量X的分布函数为

?0,?0.3,?F(x)???0.8,??1,x??1?1?x?1

1?x?2x?2（1）求X的概率分布（2）求y?xX的概率分布。

2.21解：（1）X的概率分布为： X ?1 1 2 pk 0.3 0.5 0.2 （2）|X|X的概率分布为：

|X| 1 0.8 2 pk

0.2 2.22.设随机变量X~N(0,1)，求下列随机变量Y的概率密度函数：

(1)Y?2X?1;(2)Y?e?X;(3)Y?X2，求Y?1?X的密度函数.

2.22解：X的密度函数和分布函数分别为：

x22fX(x)??(x)?12?e?，FX(x)??(x)?P(X?x)，

且有FX'(x)??'(x)??(x)?fX(x)

（1）Y?2X?1的密度函数和分布函数分别为fY(y),FY(y)?P(Y?y)，其中

y?1???y?1?FY(y)?P(Y?y)?P(2X?1?y)?P?X??????，

22????因此Y的密度函数为

fY(y)?dFY(y)?y?1??y?1?1?y?1???'????'????dy?2??2?2?2?2?1?y?1?2???111(y?1)???exp???exp?????2?2??22?22?8????

（2）Y?e?X的密度函数和分布函数分别为fY(y),FY(y)?P(Y?y)，其中

0,y?0?， FY(y)?P(Y?y)?P(e?X?y)???P(X??lny),y?0当y?0时

FY(y)?P(X??lny)?1?P(X??lny)?1?P(X??lny)?1??(?lny)??(lny)于是Y的密度函数为

0,?fY(y)?FY'(y)????(lny)(lny)',0,y?0,??1??y?0??(lny),y?0?y

0,y?0,???(lny)2???1exp???,y?0?y2?2???y?0,（3）Y?X的密度函数和分布函数分别为fY(y),FY(y)?P(Y?y)，其中

20,y?0,?FY(y)?P(Y?y)?P(X2?y)???P(y?X?y,y?0，

0,y?0,?0,y?0,??????(y)??(?y),y?0??2?(y)?1,y?0.

于是Y的密度函数为

0,?fY(y)?FY'(y)???2?(y)(y)',0,??1?y???exp???,?2?y?2??0,y?0,??1???(y),y?0y?0??y

y?0,y?0,y?02.23.设随机变量X~U(0,?)，求下列随机变量Y的概率密度函数：

(1)Y?2lnX;(2)Y?cosX;(3)Y?sinX.，求Y?1?X的密度函数.

2.23解：X的密度函数和分布函数分别为：

?1/?,0?x??,，FX(x)?P(X?x)， fX(x)??其他，?0,且有FX'(x)?fX(x)

（1）Y?2lnX的密度函数和分布函数分别为fY(y),FY(y)?P(Y?y)，其中

yy????2?2??FY(y)?P(Y?y)?P(2lnX?y)?P?X?e?FeX????， ????因此Y的密度函数为