yyyyyy??2??2?12?2?121/?,0?e2??,??e?'?efX?e??e?fY(y)?F'Y(y)?fX?e?????2??2???????其他，?0, yyy?12?122?e,〈?0e〈?，??2???2?e,y?2ln?，?其他，?其他，?0，?0，（2）Y?cosX的密度函数和分布函数分别为fY(y),FY(y)?P(Y?y)，其中

FY(y)?P(Y?y)?P(coxX?y)?P?arccosy?X????FX(?)?FX(arccosy)于是Y的密度函数为

fY(y)?FY'(y)??fX(arccosy)(arccosy)'??fX(arccosy)?11?y2 11??,0?arccosy??,?,?1?y?1,????1?y2???1?y2??0,其他，0,其他，??（3）Y?sinX的密度函数和分布函数分别为fY(y),FY(y)?P(Y?y)，其中

FY(y)?P(Y?y)?P(sinX?y)?P?0?X?arcsiny)?P(??arcsiny?X????FX(arcsiny)?FX(0)?FX(?)?FX(??arcsiny)于是Y的密度函数为

fY(y)?FY'(y)?fX(arcsiny)(arcsiny)'?fX(??arccosy)(??arccosy)'?11?y2fX(arcsiny)?11?y2fX(??arcsiny)11??,0?arcsiny??,,0???arcsiny??,??22???1?y???1?y??0,其他，0,其他，??11??,0?arcsiny??,,0?arcsiny??,?????1?y2???1?y2??0,其他，0,其他，??22??,0?arcsiny??,?,0?y?1,?22???1?y???1?y??0,其他，0,其他， ??

第二章综合练习

1. 填空题

（1）． 已知随机变量X的分布列为

X 0 1 2 3 Pk 0.1 0.2 0.4 p 则：p= 0.3 。

?1?e?x，x?0（2）．设X的分布函数为F(x)??，则P{X?2}? ；

?0，x?0P{X?3}? ；X的概率分布f(x)? 。

?1，0?x?2，则P{X?1}? ；（3）.设X的概率分布为f(x)???2??0，其它P{X?2}? 。

???Acosx，x?（4）．设随机变量X的概率密度为f(x)??2，则：系数A= ；

?其它?0，P{0?X?

（5）.设随机变量X的概率分布为

?2}= 。

X P 则Y?0 ? 21 2? 1 41 42X?2的分布律为 ，X的分布函数F(x)为 。 3（6）.设随机变量X的概率分布为P(X?K)?A?KK!，K?1,2,?，??0，则常数

A? 。

??e??x x?0(7)若随机变量X的概率密度为f(x)??，则当C? 时，有

x?0?0 P(X?C)?1。 20?x?1?2x (8).设随机变量X的概率密度为f(x)??，对X进行三次独立重复观察，

0 其他?用Y表示事件(X?1)出现的次数，则P(Y?2)? 。 2??0, x?0,???(9).设连续型随机变量X的分布函数为F(x)??Asinx, 0?x?,则A=

2???1, x?.?2? ，P(|X|?2.选择题

（1）设随机变量X的概率密度为f(x)，且f(?x)?f(x)，F(x)是X的分布函数，则对任意实数a有（ ）

A．F(?a)?1??6)? 。

?a0f(x)dx B. F(?a)?a1??f(x)dx 20C．F(?a)?F(a) D. F(?a)?2F(a)?1 （2）下述函数中，可作为某个随机变量的分布函数的是（ ）

1

1?x211B. F(x)??arctanx

2?A. F(x)??1?x?(1?e), x?0;C. F(x)??2

? x?0.?0, D. F(x)??x??f(t)dt，其中?f(t)dt?1。

????（3）设X1，X2是随机变量，它们的分布函数分别为F1(x)，F2(x)，为使

F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给出的各组数中应取

（ ）

3222，b?? B. a?，b? 53351133C． a??，b? D. a?，b?

2222?4x3,0?x?1 4．设随机变量X的密度函数为f(x)??，则使P(X?a)?P(X?a)成

0,其它?A． a?立的常数a?（ ） 。

(A)

142 (B)

42 (C)11 (D)1?

4225.设X的概率分布为f(x)???Ax，0?x?11，则P{X?}=( )。

2其它?0， (A)

3111 (B) (C) (D) 434222 6．设X和Y均服从正态分布X~N(?，4)，Y~N(?，5)，记

p1?P{X???4}，p2?P{Y???5}，则（ ）

(A)对任何实数?都有p1?p2 (B)对任何实数?都有p1?p2

(C)仅对?的个别值有p1?p2 (D)对任何实数?都有p1?p2

计算题

（1）一个工人在一台机器上独立地生产了三个同种零件，第i个零件不合格的概率为

pi?1(i?1,2,3)，以X表示三个零件中合格品的个数，求X的分布律。 i?10?x?1?2x （2）设随机变量X的概率密度为f(x)??，现对X进行n次独立重复

0 其他?观测，以Vn表示观测值不大于0.1的次数，求Vn的概率分布。

（3）设随机变量X~U[2,5]，对X进行三次独立观测，求至少有两次观测值大于3的概率。

（4）设测量的随机误差X~N(20,40)，试求在三次重复测量中，至少有一次误差的绝对值不大于30的概率。

2?k -1?x?1?2（5）设连续型随机变量X的分布密度为f(x)??1?x，

?0 其他?① 确定常数k； ② 求X落在???11?,?内的概率。 22???1xx?0,?2e, ??1 0?x?2,，试求X的分布（6）设连续型随机变量X的分布密度为f(x)??, 4? x?2.?0, ??函数F(x)。

（7）设连续型随机变量X的分布密度为

2? x?0?， fX(x)???(x2?1)?0 x?0?求 ① Y?X的分布密度； ② Y?lnX的分布密度。

3综合练习答案

填空题

??e?x,x?0111(1).0.3 ，(2).1?e,e,f(x)??, (3). ,1, (4).,

222?0,x?0?2?3(5).

Y 2 2??322??3 P 1 41 21 40,x?0,??1?,0?x?,?42?? F(x)??11?,?x??,?422?111x??.???,?42419?1e??C?ln2P(Y?2)?P(|X|?)?(6).A?,(7).,(8).,(9)..A=1；

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