直线与圆、圆与圆的位置关系

【名师预测】

在江苏高考中，直线与圆是C级考点，是必考考点。主要考查以直线与圆、圆与圆的位置关系为载体，考查学生的探究与计算能力。考查中，大多以动圆、动直线及隐圆为模型，考查定点、定值、取值范围等问题，解决此类问题，要充分利用数形结合、等价转化、函数与方程的思想来解题，体现能力和知识的综合，填空题与解答题均会出现，且难度较大。

【知识精讲】

一、直线与圆的三种位置关系 （1）直线与圆相离，没有公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相交，有两个公共点． 二、直线与圆的位置关系的判断方法

判断方法 几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断 代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数来判断 三、圆与圆的位置关系

两圆的位置关系 外切 内切 内含 外离 直线与圆的位置关系 d?r 直线与圆相离 d?r 直线与圆相切 d?r 直线与圆相交 ??? 方程无实数解，直线与圆相离 ??? 方程有唯一的实数解，直线与圆相切 ??? 方程有两个不同的实数解，直线与圆相交 ??相切 ?两圆有唯一公共点 ??相离 ?相交 两圆没有公共点 两圆有两个不同的公共点 四、圆与圆位置关系的判断

圆与圆的位置关系的判断方法有两种：

（1）几何法：由两圆的圆心距d与半径长R，r的关系来判断（如下图，其中R?r）．

2222

（2）代数法：设圆C1：x+y+D1x+E1y+F1=0 ①，圆C2：x+y+D2x+E2y+F2=0 ②，

联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离； 如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切； 如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交． 五、两圆相交时公共弦所在直线的方程

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设圆C1：x+y+D1x+E1y+F1=0 ①，圆C2：x+y+D2x+E2y+F2=0 ②，

若两圆相交，则有一条公共弦，由①－②，得（D1－D2）x+（E1－E2）y+F1－F2=0 ③． 方程③表示圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程．

【典例精练】

考点一 直线与圆的位置关系

例1．直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是________．

??x－y＝0，

【解析】由(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)整理得x－y＋a(x＋y＋2)＝0，则由?解得x

?x＋y＋2＝0，?

＝－1，y＝－1，即直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的内部，故直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交．

故答案为：相交.

例2．在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是________．

【解析】因为△ABC为直角三角形，所以BC＝AC＝r＝4，所以圆心C到直线AB的距离为22，从而有

|a＋a－2|

＝22，解得a＝－1. 2a＋1故答案为：－1.

例3．已知点A(1,0)和点B(0,1)，若圆x2＋y2－4x－2y＋t＝0上仅有两个不同的点P，使得△PAB的面1

积为，则实数t的取值范围是________．

2

12

【解析】由题可得AB＝2，若△PAB的面积为，则点P到直线AB的距离为.

22

圆x2＋y2－4x－2y＋t＝0的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5－t，圆心到直线AB的距离为2. ∴5－t－

2219

＜2＜5－t＋，解得＜t＜. 2222

19?故答案为：??2，2?.

【方法点睛】判断直线与圆的位置关系的两种方法

（1）几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小；

（2）代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法．

考点二 切线、弦长问题

例4． 已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为2的切线方程为________________． 【解析】在y轴上截距为2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋2. ∴

|2|

＝1，即k＝±1，故所求切线方程为y＝x＋2或y＝－x＋2. k2＋1

故答案为：y＝x＋2或y＝－x＋2.

例5． 过原点且与直线6x－3y＋1＝0平行的直线l被圆x2＋(y－3)2＝7所截得的弦长为________． 【解析】由题意可得l的方程为2x－y＝0， ∵ 圆心(0，3)到l的距离d＝

3

＝1， 3

∴ 所求弦长l＝2R2－d2＝27－1＝26. 故答案为：26.

例6．已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4.

（1）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；

（2）若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a的值及切线方程．

【解析】（1）由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，故12＋a2＝4，得a＝±3. 当a＝3，即A(1，3)时，切线的斜率为－

3. 3