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世代数模拟试题一
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射?：x→x＋2，则?是从A到B的（ c ） ?x∈R，A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射
2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素。
A、2 B、5 C、7 D、10
3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、设集合A???1,0,1?；B??1,2?，则有B?A?。
2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。 4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。 6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。
8、设I和S是环R的理想且I?S?R，如果I是R的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设置换?和?分别为：???，???，判断?和?的奇偶性，并把?和????64173528??23187654?写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把?和?写成不相杂轮换的乘积： ??(1653)(247)(8) ??(123)(48)(57)(6)
可知?为奇置换，?为偶置换。 ?和?可以写成如下对换的乘积： ??(13)(15)(16)(24)(27) ??(13)(12)(48)(57)
B??12345678??12345678?11(A?A?)C?(A?A?)222解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称
矩阵，且A?B?C。若令有A?B1?C1，这里B1和C1分别为对称矩阵和反对称矩阵，则
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B?B1?C1?C，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：B?B1，C?C1，所以，表示法唯一。
3、设集合Mm?{0,1,2,??,m?1,m}(m?1)，定义Mm中运算“?m”为a?mb=(a+b)(modm),则（Mm，?m）是不是群，为什么？
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
21、设G是群。证明：如果对任意的x?G，有x?e，则G是交换群。
2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。
2?1?1?1(xy)?exy?(xy)?yx?yx（对每个x，从x2?e可1、对于G中任意元x，y，由于，所以
?1x?x得）。
2、证明在F里
a(a,b?R,b?0)b
?a??Q??所有?(a,b?R,b?0)b??有意义，作F的子集 ab?1?b?1a?Q显然是R的一个商域 证毕。
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近世代数模拟试题二
一、单项选择题
二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c ）是子群。
33???? e,ae,a,a????a,eaA、 B、 C、 D、
2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群
A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法
C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ）
A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b|
4、设?1、?2、?3是三个置换，其中?1=（12）（23）（13），?2=（24）（14），?3=（1324），则?3=（ b ）
22A、?1 B、?1?2 C、?2 D、?2?1
5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ a ）。 A、不可能是群 B、不一定是群 C、一定是群 D、 是交换群
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个---变换全-------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。
43、已知群G中的元素a的阶等于50，则a的阶等于-25-----。
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4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与--模n乘余类加群-----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A∩B=---2--。
6、若映射?既是单射又是满射，则称?为---双射--------------。
7、?叫做域F的一个代数元，如果存在F的--不都等于林---a0,a1,?,an使得。
8、a是代数系统(A,0)的元素，对任何x?A均成立x?a?x，则称a为----单位元-----。 9、有限群的另一定义：一个有乘法的有限非空集合G作成一个群，如果满足G对于乘法封闭；结合律成立、--消去律成立-------。
10、一个环R对于加法来作成一个循环群，则P是----------。 三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设集合A={1,2,3}G是A上的置换群，H是G的子群，H={I,(1 2)}，写出H的所有陪集。
2、设E是所有偶数做成的集合，“?”是数的乘法，则“?”是E中的运算，（E，?）是一个代数系统，问（E，?）是不是群，为什么？
1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )} H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )} 2、答：（E，?）不是群，因为（E，?）中无单位元。 3、解 方法一、辗转相除法。列以下算式： a=b+102 b=3×102+85 102=1×85+17
由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a×b/17=11339。
然后回代：17=102-85=102-(b-3×102)=4×102-b=4×(a-b)-b=4a-5b. 所以 p=4, q=-5.
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分）
1、证明 设e是群
若x?∈G也是a*x＝b的解，则x?＝e*x?＝(a－1*a)*x?＝a－1*(a*x?)＝a－1*b＝x。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。
2、容易证明这样的关系是Z上的一个等价关系，把这样定义的等价类集合Z记为Zm，每个整数a所在的等价类记为[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可记为a，称之为模m剩余类。若m︱a–b也记为a≡b(m)。
当m=2时，Z2仅含2个元：[0]与[1]。
四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、若
2、设m是一个正整数，利用m定义整数集Z上的二元关系：a?b当且仅当m︱a–b。
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a0?a1????an?n?0