精心制作仅供参考 鼎尚出品
2.5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例
1.掌握用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题.(重点) 2.体会向量是一种处理几何问题、物理问题的重要工具.(重点) 3.培养运用向量知识解决实际问题和物理问题的能力.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 平面几何中的向量方法
阅读教材P109～P110例2以上内容，完成下列问题. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
→→
(1)若△ABC是直角三角形，则有AB·BC＝0.( ) →→
(2)若AB∥CD，则直线AB与CD平行.( )
【解析】 (1)错误.因为△ABC为直角三角形，∠B并不一定是直角，有可能是∠A或∠
C为直角.
→→
(2)错误.向量AB∥CD时，直线AB∥CD或AB与CD重合. 【答案】 (1)× (2)× 教材整理2 向量在物理中的应用
阅读教材P111例3至P112例4以上内容，完成下列问题. 1.物理问题中常见的向量有力，速度，加速度，位移等.
鼎尚出品
精心制作仅供参考 鼎尚出品
2.向量的加减法运算体现在力，速度，加速度，位移的合成与分解. 3.动量mv是向量的数乘运算.
4.功是力F与所产生的位移s的数量积.
已知力F＝(2,3)作用在一物体上，使物体从A(2,0)移动到B(－2,3)，则F对物体所做的功为________焦耳.
→→
【解析】 由已知位移AB＝(－4,3)，∴力F做的功为W＝F·AB＝2×(－4)＋3×3＝1. 【答案】 1
[小组合作型]
向量在平面几何中的应用
如图2-5-1，在正三角形ABC中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，且
AE，CD交于点P，求证：BP⊥DC.
图2-5-1
【精彩点拨】 先表示出图中向量对应的线段，再计算所需向量的数量积. →→→2→→
【自主解答】 设PD＝λCD，并设正三角形ABC的边长为a，则有：CD＝BA－BC，
3→
→→→1→→→?2→→?1→1
PA＝PD＋DA＝λCD＋BA＝λ?BA－BC?＋BA＝(2λ＋1)BA－λBC.
3
?3?3
3
→→1→→→又EA＝BA－BC，PA∥EA，
3
1→→→1→∴(2λ＋1)BA－λBC＝kBA－kBC， 331
??32λ＋1于是有?1
λ＝??3k，
＝k，
1
λ＝，??7解得?3
k＝??7，
鼎尚出品
精心制作仅供参考 鼎尚出品
→1→∴PD＝CD，
7
→→→1→4→∴BP＝BD＋DP＝BC＋BA，
77
→→?1→4→??2→→?从而BP·CD＝?BC＋BA?·?BA－BC?
7??3?7?8212102
＝a－a－acos 60°＝0. 21721由向量垂直的条件知，BP⊥DC.
垂直问题的解决，一般的思路是将目标线段的垂直转化为向量的数量积为零，而在此过程中，则需运用线性运算，将目标向量用基底表示，通过基底的数量积运算式使问题获解，→→→→
如本题便是将向量BP，CD由基底BA，BC线性表示.当然基底的选取应以能够方便运算为准，即它们的夹角是明确的，且长度易知.
[再练一题]
1.已知正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE. 【证明】 设正方形的边长为2，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，则中点E(1,0)，F(2,1)， →→
∴AF＝(2,1)，DE＝(1，－2)， →→
∴AF·DE＝2×1＋1×(－2)＝0， →→
∴AF⊥DE，∴AF⊥DE.
向量在解析几何中的应用
过点A(－2,1)，求： (1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程.
→→
【精彩点拨】 在直线上任取一点P(x，y)，则AP＝(x＋2，y－1)，由AP∥a可以得(1)，→
由AP⊥b可以得(2).
【自主解答】 设所求直线上任意一点P(x，y)，
鼎尚出品
精心制作仅供参考 鼎尚出品
→
∵A(－2,1)，∴AP＝(x＋2，y－1).
→
(1)由题意知AP∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0， 即x－3y＋5＝0，
∴所求直线方程为x－3y＋5＝0. →
(2)由题意，知AP⊥b，
∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0， 即x－2y＋4＝0，
∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.
→
1.本题求解的关键是在所求直线上任取一点P(x，y)，从而得到向量AP的坐标. 2.用向量方法解决解析几何问题的步骤：一是把解析几何问题中的相关量用向量表示；二是转化为向量模型，通过向量运算解决问题；三是将结果还原为解析几何问题.
[再练一题]
→→
2.已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，若RA＝2AP，求点P的轨迹方程.
【解】 设P(x，y)，R(x0，y0)， →
则RA＝(1,0)－(x0，y0)＝(1－x0，－y0)， →
AP＝(x，y)－(1,0)＝(x－1，y).
??1－x0＝2x－1，→→
由RA＝2AP，得?
??－y0＝2y.
又∵点R在直线l：y＝2x－6上，∴y0＝2x0－6，
??1－x0＝2x－2， ①
∴?
?6－2x0＝2y， ②?
由①得x0＝3－2x，代入②得6－2(3－2x)＝2y，整理得y＝2x，即为点P的轨迹方程.
向量在物理中的应用
(1)一个质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状
态，已知F1，F2成60°角且|F1|＝2，|F2|＝4，则|F3|＝( )
A.6 C.23
B.2 D.27
鼎尚出品