1251ln?11?ln1.19?10.9128(毫米) 由此可得，当u=10.9毫米时，平均利润最大. 2212x?1?cos,0?x?π,225.设随机变量X的概率密度为 f(x)=?2 对X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于π/3的次数，求Y的数学期望. 2?其他.?0,解得 u?11?π?1,X?,??3【解】令 Yi???0,X?π.?3?π/31πππx1则Y??Yi~B(4,p).因为p?P{X?}?1?P{X?}及P{X?}??(i?1,2,3,4)cosdx?, 所以0333222i?14111 ,D(Yi)?,EY()?4??2,24211D(Y)?4???1?E(Y2)?(EY)2, 从而E(Y2)?D(Y)?[E(Y)]2?1?22?5. 22E(Yi)?26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为5的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）. ?5e?5t,t?0,【解】由题意知： fi(t)?? 因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t). 当t<0时，fT(t)=0; 0,t?0.?当t≥0时，利用卷积公式得 fT(t)??????f1(x)?f2(t?x)dx??5e?5x?5e?5(t?x)dx?25te?5t 0t?25te?5t,t?0,112故得 fT(t)?? 由于Ti ~E(5),故知E(Ti)=,D(Ti)=(i=1,2) 因此，有E(T)=E(T1+T2)=. 又因T1,T2独立，所以D（T）=D（T1+T2）5525t?0.?0,=2. 2527.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量|XY|的方差. ??1?2???1?2?【解】设Z=XY，由于X~N?0,?, 且X和Y相互独立，故Z~N（0，1）. ?,Y~N?0,?????2?????????2??22因 D(X?Y)?D(Z)?E(|Z|)?[E(|Z|)]?E(Z)?[E(Z)], 22 56 21?z2/2而 E(Z)?D(Z)?1,E(|Z|)??|z|edz???2π2π2?????0ze?z2/2dz?22， 所以 D(|X?Y|)?1?. ππ28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0