故 ?(24?)?0.977 查表知 224??2,即σ=12 从而X~N（72，12） 故 P(60?X?84)?P??60?72X?7284?72???? 121212?? ??(1)??(?1)?2?(1)?1?0.682 48.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，225））.试求： （1） 该电子元件损坏的概率α; (2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200~240V}， A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。 由X~N（220，25）知 P(A1)?P(X?200) 2?X?220200?220??P??? 2525????(?0.8)?1??(0.8)?0.212P(A2)?P(200?X?240) ?200?220X?220240?220??P???? 252525????(0.8)??(?0.8)?0.576P(A3)?P(X?240)?1?0.212?0.576?0.212 由全概率公式有 ??P(B)??P(A)P(B|A)?0.0642 iii?13由贝叶斯公式有 ??P(A2|B)? P(A2)P(B|A2)?0.009 P(B)31 49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e的概率密度fY(y). 【解】fX(x)??2X?1,1?x?224 因为P（11时，FY(y)?P(Y?y)?P(e?y)?P(X?lny)?X?lny0e?xdx?1?1 y?1?1?,y即 FY(y)???0,??1?2, 故 fY(y)??y?0,y?1?y>1y>1y?1 51.设随机变量X的密度函数为fX(x)=1, 求Y=12π(1?x)33x的密度函数fY(y). 【解】FY(y)?P(Y?y)?P(1?3X?y)?P(X?(1?y)) 32 ?? 11dx?arctgx(1?y)3π(1?x2)π??(1?y)3?1?π3??arctg(1?y)?π??2?3(1?y)2 故 fY(y)? 6π1?(1?y)52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布.（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q. 【解】（1） 当t<0时，FT(t)?P(T?t)?0 当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有 FT(t)?P(T?t)?1?P(T?t)?1?P(N(t)?0)?1?e??t ?1?e??t,t?0e?16??8?即 FT(t)?? 即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。 （2） Q?P(T?16|T?8)?P(T?16)/P(T?8)??8??e et?0?0,53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{1P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. 22 33 解： 依题意 X??1?1?N(0,1)，Y??2?2?N(0,1)，则 P{X??1?1}?P{1Y??11X??1?1?1?1}， P{Y??2?1}?P{Y??2?2?1?2}. 因为P{X??1?1}?P{Y??2?1}，即 P{X??1?1??1}?P{?2??2}， 所以有 1?1?1?2，即?1??2. 习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： X Y 1113C1???? 32228181121C3????3/8 2221111??? 2228 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律. 【解】X和Y的联合分布律如表： X Y 22C3?C23? 4C7352C1C1C263?2?? 4C7352C3?C1C1122?2? 4C73522C3?C23? 4C7351C3?C232? 4C735C3C123?2? 4C735黑,2红,2白)= 4C2C22?2/C7?1 352C1C2?C163?2? 4C735 34 ππ?πππ??sinxsiny,0?x?,0?y??3.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F（x，y）=? 求二维随机变量（X，Y）在长方形域0?x?,?y???22463???其他.?0,内的概率. 【解】如图P{0?X? πππππππππ,?Y?}公式(3.2) F(,)?F(,)?F(0,)?F(0,) 463434636ππππππ?sin?sin?sin?sin?sin0?sin?sin0?sin434636?2(3?1).4 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 ?Ae?(3x?4y),x?0,y?0,4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）=? 求：（1） 常数A； （2） 随机变量（X，Y）的分布函数； （3） P{0≤X<1，其他.?0,0≤Y<2}. 【解】（1） 由??????????f(x,y)dxdy????0???0Ae-(3x?4y)dxdy?A?1 得 A=12 12（2） 由定义，有 F(x,y)?(3) P{0?X?1,0?Y?2} ??yx????yy?(3u?4v)?dudv?(1?e?3x)(1?e?4y)??0?012e??f(u,v)dudv??0,???0,y?0,x?0,其他 35