?P{0?X?1,0?Y?2} ??100?12e2?(3x?4y)dxdy?(1?e)(1?e)?0.9499.?3?8 ?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=? 0,其他.?（1） 确定常数k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X<1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 【解】（1） 由性质有 ????1??????3f(x,y)dxdy??（2） P{X?1,Y?3}?(3) P{X?1.5}???????1 故 R?k(6?x?y)dydx?8k?1,0?281313f(x,y)dydx???k(6?x?y)dydx? 0288241.5402x?1.5??f(x,y)dxdy如图a??f(x,y)dxdy??dx?D1127(6?x?y)dy?. 8324?x(4) P{X?Y?4}?X?Y?4??f(x,y)dxdy如图b??f(x,y)dxdy??dx?D202212(6?x?y)dy?. 83 题5图 ?5e?5y,y?0,6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为fY（y）=? 求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） 0,其他.?P{Y≤X}. 36 题6图 ?1?5e?5y,y?0,,0?x?0.2,?【解】（1） 因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为 fX(x)??0.2 而 fY(y)?? 其他.?0,?其他.?0,?1?5e?5y?25e?5y,0?x?0.2且y?0,???所以 f(x,y)X,Y独立fX(x)?fY(y)??0.2 其他.?0,??0,(2) P(Y?X)?y?x??f(x,y)dxdy如图??25e?5ydxdy D ??dx?25edy??(?5e?5x?5)dx0000.2x-5y0.2 =e-1?0.3679.?(1?e?4x)(1?e?2y),7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F（x，y）=??0,x?0,y?0,其他. 求（X，Y）的联合分布密度. ?2F(x,y)?8e?(4x?2y),x?0,y?0,??【解】f(x,y)? ?x?y0,其他.?8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=??4.8y(2?x),0?x?1,0?y?x, 求边缘概率密度. 其他.?0, 37 【解】fX(x)??????x2???04.8y(2?x)dy?2.4x(2?x),0?x?1, ??f(x,y)dy=?其他.?0,??0, fY(y)???????14.8y(2?x)dx?2.4y(3?4y?y2),0?y?1,? ??f(x,y)dx=??y0,其他.???0, 题8图 题9图 ?e?y,0?x?y,9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=? 求边缘概率密度. 其他.?0,【解】fX(x)????????y?y?y?x?x?????edye,x?0,??x??0edx?ye,y?0, fY(y)??f(x,y)dx=? ????f(x,y)dy=???其他.其他.?0,?0,???0,?0, 题10图 ?cx2y,x2?y?1,10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=? （1） 试确定常数c； （2） 求边缘概率密度. 其他.?0, 38 【解】（1） ??????????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy=?dx?2cx2ydy?D11-1x421c?1. 得c?. 421(2) fX(x)??????y21?75?212?1212?42????x2xydy?x(1?x),?1?x?1,???yxydx?y2,0?y?1, fY(y)??f(x,y)dx?? ??8??2f(x,y)dy??44??????0,其他. 其他.?0,?0,?0,?11.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=??1,?0,y?x,0?x?1,其他. 求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）. 题11图 【解】fX(x)??????x????1dy?2x,0?x?1, fY(y)??f(x,y)dy????x???0,其他.??11dx?1?y,?1?y?0,???y??1f(x,y)dx???1dx?1?y,0?y?1, y?其他.?0,???1?1?y, y?x?1,??1f(x,y)?1f(x,y)?,|y|?x?1,??,?y?x?1, ??2x所以 fY|X(y|x)? fX|Y(x|y)?fY(y)?1?yfX(x)?0,其他.??0,其他.??12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为Y.（1） 求X与Y的联合概率分布；（2） X与Y是否 39 相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 X Y PX?xi} 11 ?3C51022 ?3C51011? 3C51033 ?3C51022? 3C51011? 2C5106 103 101 10PY?yi} 1 103 106 10(2) 因P{X?1}?P{Y?3}?6161????P{X?1,Y?3}, 故X与Y不独立 10101001013.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 Y 5 8 X 5 0.30 0.35 5 0.12 0.03 （1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1）X和Y的边缘分布如下表 Y X =yi} 5 5 0 2 5 3 40