四川省普通高等学校“专升本”选拔 《高等数学》考试大纲（理工类）

总体要求

考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。

考试用时：120分钟

考试范围及要求

一 函数、极限和连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学

四 向量代数与空间解析几何 五 多元函数微分学

1. 了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极限与连续性概念（对计算不作要求），会求二元函数的定义域。 （1） 多元函数

① 二元函数： z?f(x,y) ② 三元函数： u?f(x,y,z)

③ 三元或三元以上的函数：u?f(x1,x2,x3,??,xn)(z?f(P))(n?2)

（2） 二元函数的几何意义

二元函数z?f(x,y)的图形是一个曲面，曲面在xy面上的投影就是定义域。 （3） 二元函数的定义域

一元函数y?f(x)的定义域: 通常可用区间（开区间、闭区间、半开半闭区间，这些区

间可为有界也可是无界）或用关于x的不等式表示.

二元函数z?f(x,y)的定义域D: 由使函数式z?f(x,y)有意义的点P(x,y)的全体构

成。通常由一条或几条曲线（称为D的边界）围成的xoy面上的一部分，可用区域（开区域、闭区域、有界开区域或有界闭区域，无界开区域或无界闭区域）。可用关于x、y所确定的不等式组表示。

（3） 二元函数的极限

① 定义 设函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的附近有定义（在点P0处函数可无定义），如果动点P(x,y)沿任意路径趋近于定点P0(x0,y0)时, f(x,y)总是趋于一个常数A，则称A为函数f(x,y)当P(x,y)?P0(x0,y0)时的极限，记为

x?x0limf(x,y)?A 或

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A 或limf(P)?A．

P?P0y?y0② 注：ⅰ 定义中P(x,y)?P0(x0,y0)是沿任意路径的；

ⅱ 若动点P以某一种特殊方式（沿某特殊直线或曲线）趋于点P0时，f(P)无限接近A，

不能得出limf(P)?A的结论；

P?P0ⅲ 当动点P以不同方式或不同路径趋于P0时，f(P)趋于不同值，则limf(P)一定不

P?P0存在；

（4）二元函数的连续性

定义 设函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义，如果当点P(x,y)趋近

于点P0(x0,y0)时，函数z?f(x,y)的极限存在， 且等于它在点P0处的函数值，即

limf(x,y)?f(x0,y0) 或 limf(P)?f(P0)

x?x0y?y0P?P0则称函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续。

定义 设函数z?f(x,y)在点p0(x0,y0)的一个邻域内有定义， 若当自变量x、y的增量?x、?y趋近于零时，对应的函数的全增量 ?z也趋向于零，即

lim?z?0

?x?0?y?0则称函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续。

2. 理解偏导数的概念，了解全微分的概念，了解全微分存在的必要条件与充分条件。

（1）偏导数

① z?f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数：

fx?(x0,y0)，

?z?x、

x?x0y?y0?f?x 、z?x(x0,y0)x?x0y?y0 、

fx?(x0,y0)?lim?xzf(x0??x,y0)?f(x0,y0) ?lim?x?0?x?x?0?x② z?f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数：

fy?(x0,y0)，

?z?y、

(x0,y0)?f?yx?x0y?y0、 z?yx?x0y?y0 、

fy?(x0,y0)?lim?yz?y?y?0?lim?x?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0) ．

?y?z??、f(x,y)、 z?x 、 fx(x,y)

?x?x③ z?f(x,y)在任意点处对x的偏导数：

fx?(x0,y0)?lim?xzf(x??x,y)?f(x,y)?lim

?x?0?x?x?0?x?z?f(x,y) 、z?y 、fy?(x,y)． 、

?y?y④ z?f(x,y)在任意点处对y的偏导数：

fy?(x0,y0)?lim?yz?y?y?0?lim?x?0f(x,y??y)?f(x,y) ．

?y（2）全微分定义

① 定义

如果二元函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处的全增量?z可以表示为 ：

?z?A?x?B?y??

其中A、B与?x、?y无关，? 是??(?x)2?(?y)2的高阶无穷小，即 lim??0． ??0?则称 A?x?B?y 为函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分，记为dz．

dz?A?x?B?y，

这时， 称函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处可微。

如果函数z?f(x,y)在区域D内每一点都可微，则称函数z?f(x,y)在区域D内可微。

② 全微分与偏见导数的关系

如果函数z?f(x,y)在点(x,y)处可微，则函数z?f(x,y)在点(x,y)处的偏导数

?z?z?z?z， 存在，而且 A? ，B?。

?x?y?x?y