专升本资料5-1( 多元函数微分学)讲解 下载本文

四川省普通高等学校“专升本”选拔 《高等数学》考试大纲(理工类)

总体要求

考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论;掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明,准确、简捷地计算;能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高,对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次;对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。

考试用时:120分钟

考试范围及要求

一 函数、极限和连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学

四 向量代数与空间解析几何 五 多元函数微分学

1. 了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极限与连续性概念(对计算不作要求),会求二元函数的定义域。 (1) 多元函数

① 二元函数: z?f(x,y) ② 三元函数: u?f(x,y,z)

③ 三元或三元以上的函数:u?f(x1,x2,x3,??,xn)(z?f(P))(n?2)

(2) 二元函数的几何意义

二元函数z?f(x,y)的图形是一个曲面,曲面在xy面上的投影就是定义域。 (3) 二元函数的定义域

一元函数y?f(x)的定义域: 通常可用区间(开区间、闭区间、半开半闭区间,这些区

间可为有界也可是无界)或用关于x的不等式表示.

二元函数z?f(x,y)的定义域D: 由使函数式z?f(x,y)有意义的点P(x,y)的全体构

成。通常由一条或几条曲线(称为D的边界)围成的xoy面上的一部分,可用区域(开区域、闭区域、有界开区域或有界闭区域,无界开区域或无界闭区域)。可用关于x、y所确定的不等式组表示。

(3) 二元函数的极限

① 定义 设函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的附近有定义(在点P0处函数可无定义),如果动点P(x,y)沿任意路径趋近于定点P0(x0,y0)时, f(x,y)总是趋于一个常数A,则称A为函数f(x,y)当P(x,y)?P0(x0,y0)时的极限,记为

x?x0limf(x,y)?A 或

(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A 或limf(P)?A.

P?P0y?y0② 注:ⅰ 定义中P(x,y)?P0(x0,y0)是沿任意路径的;

ⅱ 若动点P以某一种特殊方式(沿某特殊直线或曲线)趋于点P0时,f(P)无限接近A,

不能得出limf(P)?A的结论;

P?P0ⅲ 当动点P以不同方式或不同路径趋于P0时,f(P)趋于不同值,则limf(P)一定不

P?P0存在;

(4)二元函数的连续性

定义 设函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果当点P(x,y)趋近

于点P0(x0,y0)时,函数z?f(x,y)的极限存在, 且等于它在点P0处的函数值,即

limf(x,y)?f(x0,y0) 或 limf(P)?f(P0)

x?x0y?y0P?P0则称函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续。

定义 设函数z?f(x,y)在点p0(x0,y0)的一个邻域内有定义, 若当自变量x、y的增量?x、?y趋近于零时,对应的函数的全增量 ?z也趋向于零,即

lim?z?0

?x?0?y?0则称函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续。

2. 理解偏导数的概念,了解全微分的概念,了解全微分存在的必要条件与充分条件。

(1)偏导数

① z?f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数:

fx?(x0,y0),

?z?x、

x?x0y?y0?f?x 、z?x(x0,y0)x?x0y?y0 、

fx?(x0,y0)?lim?xzf(x0??x,y0)?f(x0,y0) ?lim?x?0?x?x?0?x② z?f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数:

fy?(x0,y0),

?z?y、

(x0,y0)?f?yx?x0y?y0、 z?yx?x0y?y0 、

fy?(x0,y0)?lim?yz?y?y?0?lim?x?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0) .

?y?z??、f(x,y)、 z?x 、 fx(x,y)

?x?x③ z?f(x,y)在任意点处对x的偏导数:

fx?(x0,y0)?lim?xzf(x??x,y)?f(x,y)?lim

?x?0?x?x?0?x?z?f(x,y) 、z?y 、fy?(x,y). 、

?y?y④ z?f(x,y)在任意点处对y的偏导数:

fy?(x0,y0)?lim?yz?y?y?0?lim?x?0f(x,y??y)?f(x,y) .

?y(2)全微分定义

① 定义

如果二元函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处的全增量?z可以表示为 :

?z?A?x?B?y??

其中A、B与?x、?y无关,? 是??(?x)2?(?y)2的高阶无穷小,即 lim??0. ??0?则称 A?x?B?y 为函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分,记为dz.

dz?A?x?B?y,

这时, 称函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处可微。

如果函数z?f(x,y)在区域D内每一点都可微,则称函数z?f(x,y)在区域D内可微。

② 全微分与偏见导数的关系

如果函数z?f(x,y)在点(x,y)处可微,则函数z?f(x,y)在点(x,y)处的偏导数

?z?z?z?z, 存在,而且 A? ,B?。

?x?y?x?y