均值不等式的灵活应用- 2018届高考数学三轮冲刺易错题专题辅导讲义

一．学习目标

【学习目标】

会应用不等式的基础知识通过不等式建模，分析求解与不等式相关的实际应用问题；会运用不等式的工具性探究函数与方程问题；会通过构造函数解决不等式的综合问题，从而提升思维能力． 二．知识点

【知识要点】 1.不等式建模应用问题

实际问题中所涉及的变量之间、变量与常量之间存在不等关系，适合应用不等式知识建模求解；有时问题可能是函数建模后转化化归为不等式解模，此类应用问题的求解思路仍然是：理解问题?假设建模?求解模型?检验评价，而关键和切入点是理解问题情境，建立数学模型.

2.不等式综合应用类型

类型1：求函数的定义域、值域、最值及单调性判定问题. 类型2：讨论方程根的存在性、根的分布及根的个数等问题.

类型3：探究直线与圆、圆锥曲线的位置关系，参变量取值范围，最值问题等. 类型4：探究数列的递增(递减)性，前n项和的最值等问题. 3．基本不等式 (1)a＋b≥2ab；变式：

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2

a2＋b2

2

≥ab；当且仅当a＝b时等号成立；

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?a＋b?，当且仅当a＝b时，等号成立，其中a＋b叫(2)如果a≥0，b≥0，则≥ab；变式：ab≤??22?2?

a＋b做正数a，b的算术平均数，ab叫做正数a，b的几何平均数．

?a＋b?＝P可知，当a＝b时，ab有最大值P； 4．(1)若a>0，b>0，且a＋b＝P(定值)，则由ab≤??4?2?4

(2)若a>0，b>0且ab＝S(定值)，则由a＋b≥2ab＝2S可知，当a＝b时，a＋b有最小值2S.

三．题型方法规律总结

1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值等问题.

不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角等相结合，解决这些问题的关键是找出综合题中各部分知识之间的转化化归，注意灵活应用数学思想和数学方法.

2.建立不等式的主要途径有：利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性；利用均值不等式.

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3.不等式的实际应用，题源丰富，综合性强，是高考应用题命题的重点内容之一.不等式应用题大都是以函数的面目出现，以最优化的形式展现.在解题过程中涉及均值不等式，常常与集合问题，方程(组)解的讨论，函数定义域、值域的确定，函数单调性的研究，三角、数列、立体几何中的最值问题，解析几何中的直线与圆锥曲线位置关系的讨论等有着密切的关系.

4.解答不等式的实际应用问题，一般可分为四个步骤：

(1)审题：阅读理解材料.应用题所用语言多为“文字语言、符号语言、图形语言”并用，而且文字叙述篇幅较长，阅读理解材料要达到的目的是将实际问题抽象成数学模型.这就要求解题者领悟问题的实际背景，确定问题中量与量之间的关系，初步形成用怎样的模型能够解决问题的思路，明确解题的方法.

(2)建模：建立数学模型，即根据题意找出常量与变量的不等关系.

(3)求解：利用不等式的有关知识解题，即将数学模型转化为数学符号或图形符号. (4)回验：回到实际问题，作出合理的结论. 四．高考题型及命题陷阱 1.均值不等式配常数

例1．若圆C:x2?y2?4x?2y?1?0关于直线l:ax?by?2?0(a?0,b?0)对称，则（ ）

A. 1 B. 5 C. 42 D. 4 【答案】D

12

?的最小值为ab

练习1．已知a?b，则

b?a?1?b?a的最小值为（ ）

b?aA. 3 B. 2 C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】

b?a?11b?a,?b?a?0,?b?a??1?b?a?b?ab?a11+2??b?a?b?a?=?1，2当3b?a=1 时等号成立，即

b?a?1?b?a的最小值为3，故选A.

b?a【易错点防范】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用?或?时等号能否同时成立）.

2．已知点?4a,2b?(a?0,b?0)在圆C:x2?y2?4和圆M:?x?2???y?2??4的公共弦上，则的最小值为（ ）．

A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D

2212

?ab

【方法总结】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

3．在下列函数中，最小值为2的是（ ） A. y?x?C. y?11?(0?x?) B. y?sinx?xsinx2x D. y?2?x2?3x2?21 2x【答案】D

【解析】A选项x可以是负数. B选项y?2sinx?1?2，等号成立时时sinx?1，在定义域内无法满sinx足. C选项y?x2?2?1x2?2?2，等号成立时x2?2?1，在实数范围内无法满足.由基本不等式