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贵州大学2007-2008学年第二学期考试试卷（标准答案） A
信息安全数学基础
注意事项：
1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。 2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。 3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。 4. 满分100分，考试时间为120分钟。 题 号 得 分 得 分 评分人
一、设a,b是任意两个不全为零的整数，证明：若m是任一整数，则 [am,bm]=[a,b]m.(共10分) 解：
一 二 三 四 五 六 七 八 总 分 统分人 abm2[am,bm]? (3分）(am,bm)abm2 ? (3分） (a,b)mabm =? (2分）(a,b) =?[a,b]m (2分）得 分 评分人
二、设
n=pq,其中
p,q
是素数.证明：如果
a2=b2(mod n),n宎a?b,n宎a?b,则(n,a?b)?1,(n,a?b)?1（共10分）
222a-b,即n|(aa?b)(a?b) (2分）证明：由a=b(mod n),得n|a
2aa?b)(a?b),因为p是素数，于是p|(aa?b)或p|(aa?b), (2分）又n?pq，则pq|( aa?b)或q|(aa?b) (2分）同理，q|(
a?b,n?a?b，所以如果p|(aa?b)，则q|(aa?b)，反之亦然. (2分） 由于n宎 aa?b)得(n,a?b)?p?1 (1分） 由p|( aa?b)得(n,a?b)?q?1 (1分） 由q|(
得 分 评分人
三、求出下列一次同余数的所有解.(共10分)
3x?2(mod7)
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解：(1)求同余式3x?1(mod7)的解，运用广义欧几里得除法得：
x?5(mod7) （5分）
（2）求同余式3x?2(mod7)的一个特解： x?10(mod7) （4分） （3）写出同余式3x?2(mod7)的全部解： x?10?2t(mod7),t?0 （1分） 得 分 评分人
四、求解同余式组：(共15分)
?x?b1(?x?b(?2 ??x?b3(??x?b4(mod5)mod6)mod7)mod11)
解：令m=5.6.7.11=2310
M1?6.7.11?462 (1分）M2?5.7.11?385 (1分）M3?5.6.11?330 (1分）M4?5.6.7?210 (1分）
'分别求解同余式MiMi?1(modmi),i?1,2,3,4
''''得到：M1?3,M2?1,M3?1,M4?1 (4分）
故同余式的解为：
x?3?462?b1?385?b2?330?b3?210?b4(mod2310) (2分）
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精品文档 得 分 评分人
五、求满足方程E:y?x?5x?1(mod7)的所有点. (共10分)
解:对x=0,1,2,3,4,5,6,分别求出y.
23x?0,y2?1(mod7),y?1,6(mod7) (2分）x?1,y2?0(mod7),y?0(mod7) (2分）x?2,y2?5(mod7),无解 (1分）x=3,y2?3(mod7),无解 (1分）x=4,y2?1(mod7),y?1,6(mod7) (2分）x?5,y2?4(mod7),y?2,5(mod7) (1分）x?6,y2?2(mod7),y?3,4(mod7) (1分）
得 分 评分人
2六、判断同余式x?137(mod227)是否有解.（共15分）
1??2?32?5??137??－90??－?2??5?解:因为227是素数，? ＝＝＝－??????????? （3分）227227227227227227????????????227－1226?228?2?8 又? 1)8=－1 （3分）?＝（－1）＝(－227??2又??5?1）?＝（－?227?5－1227－1?22?227??2? 1）＝－1 （3分）??=??=（－?5??5?52－18 因此，??137? ?＝－1 （3分）?227?2 同余式x?137(mod227)无解. (3分) 得 分 评分人
七、设m?1是整数，a是与m互素的整数，假如ordm(a)?st，那么
ordm(as)?t.（共10分）
（ 5分）解: 由ordm(a)?st得：a?(a)?1(modm)
由ordm(a)?st知，t是同余式(a)?1(modm)成立的最小正整数，
s故，ordm(a)?t. (5分)
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