第59课 直线与圆的综合问题

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1.(必修2P105习题23改编)若方程x+y-2mx+(2m-2)y+2m=0表示一个圆，且该圆的圆心位于第一象限，则实数m的取值范围为 .

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?1??0，?【答案】?2?

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【解析】将圆的方程化为(x-m)+[y+(m-1)]=1-2m，则1-2m>0，所以m<2.又圆心(m，1-m)在

?m?0，1?1-m?0?0

第一象限，所以?

2.(必修2P115复习题20改编)若集合M={(x，y)|x+y≤4}，N={(x，y)|(x-1)+(y-1)≤r，

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r>0}，当M∩N=N时，实数r的取值范围是 .

【答案】(0，2-2] 【解析】集合M表示以原点为圆心、2为半径的圆面，集合N表示以(1，1)为圆心、r为半径的圆面.因为M∩N=N，所以点集N全部含在M中，作图可知当且仅当圆x+y=4与圆(x-1)+(y-1)=r内切时，r最大，此时r=2-2，所以r∈(0，2-2].

3.(必修2P100习题9改编)已知圆C1：x+y-2x+10y-24=0与圆C2：x+y+ax+by+c=0关于直线x-2

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y+3=0对称，那么a= ，b= .

【答案】16 -8

4.(必修2P117练习23改编)若直线y=x+b与曲线x=是 . 【答案】{b|-1

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【解析】利用数形结合的方法，曲线x=1-y2表示在y轴右侧的半个单位圆(含边界)，直线

y=x+b表示斜率为1，在y轴上截距为b的直线，注意到b=-1时直线y=x+b与曲线x=1-y2有两个1-y22交点及b=-时直线y=x+b与曲线x=相切，

所以实数b的取值范围是{b|-1

1.与圆有关的最值和范围的讨论常用以下方法： (1)结合圆的方程的特点确定几何量之间的大小关系；

(2)函数值域求解法，把所讨论的参数作为一个函数，一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围；

(3)利用不等式，若能将问题能转化为“和为定值”或“积为定值”，则可以用基本不等式求解.

2.定点问题的求解步骤：

(1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化，可以选择这个量为参变量(当涉及到的参变量较多时，也可以选择多个参变量)；

(2)求动直线(曲线)方程：求出值含上述参变量的动直线(曲线)方程，并由其他条件减少参变量的个数，最终使方程中只含一个参变量；

(3)定点：求出定点坐标.不妨设方程中所含参变量为λ，把方程写为形如f(x，y)+λg(x，

?f(x，y)?0，?g(x，y)?0得到定点坐标.

y)=0的形式，然后解关于x，y的方程组?

【要点导学】

要点导学 各个击破

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最值、范围问题

例1 如图，设圆x+y=1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则线段AB长的最小值

为 .

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(例1)

【思维引导】直线与圆中有关长度的问题主要包括弦长、切线长及直线被坐标轴截得的长度等.其中弦长、切线长都可以与半径构造直角三角形来求解.

【答案】2

π??0?????2??，连接OD，则OD⊥AB， 【解析】方法一：设切点为D，∠OAB=α

1?π?1cos?tan?-??sin??2?=cos?. 从而得到AD=tan?=sin?，BD=

cos?sin?12π所以线段AB=sin?+cos?=sin?cos?=sin2?(0<α<2)，则线段AB长度的最小值为2. xy方法二：设A(a，0)，B(0，b)，则直线AB：a+b=1，又直线AB与圆相切，故

1d=

2211?11?ab11?2??2?222222222ab=1，即a+b=1，又AB=a+b=(a+b)?ab?=2+b2+a2≥2+2=4，当且仅

当a=b时取等号，所以AB长的最小值为2.

【精要点评】本题方法一在建立函数时，没有选择用点D的坐标建立函数，而是选择∠OAB为自变量来建立函数，这种方法对于二元函数来说，有利于求解.

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