dim?【】e和cosm?对算符d?是否为本征函数若是，求出本征值。
dim?ie?ieim?im?解：d?，im??me
idim?所以，e是算符d?的本征函数，本征值为?m。
dicosm??i??sinm??gm??imsinm??ccosm?而d?
id所以cosm?不是算符d?的本征函数。
i
【】证明在一维势箱中运动的粒子的各个波函数互相正交。
证：在长度为l的一维势箱中运动的粒子的波函数为：
?n?x??2n?xsinll 0?x?1 n=1，2，3，……
令n和n’表示不同的量子数，积分：
???x???x?d???nn'00lll2n?x2n'?xsingsindxllll2n?xn'?x??singsindxl0ll??n?n'??n?n'????xsinx??sin2?ll???''l?n?n??n?n?????2??2??ll??0??n?n'??n?n'???xsin?sinll???'??n?n??n?n'??????sin?n?n'???x?????0ll?n?n??
n和n皆为正整数，因而?n?n?和?n?n?皆为正整数，所以积分：
''?n?n'??n'?sin?n?n'??''???x???x?d??0n0l根据定义，n??和n'??互相正交。
【】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为
?x?x
2n?xsinll n?1,2,3???
0?x?l?，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均
式中l是势箱的长度，x是粒子的坐标??n?x??值。
解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：
222hd2nπxhd2nπnπx?ψ(x)?-H(sin)?-(cos)n8π2mdx2ll8π2mdxlll
??2n?n?n?x??(?sin)28?mllll h2h2n2?22n?xn2h2??2?2?sin??n(x)28?mlll8ml 22nhE?8ml2 即：
??（2）由于x?n(x)?c?n(x),x无本征值，只能求粒子坐标的平均值：
*??l?22n?xn?x?*????dxx???n?x??x?n?x?dx???sinx??sin?000l?l??l?l?
x??2l2l?1?cos2n?l?2?n?x???xsin?dx?dx??0x??0ll2???l???
1?x2ll?2n?x?lll2n?x???0?sindx??xsin?0?l?22n??l?2n??0l? l?2
?x?n?x??c?n?x?,p?xpll??（3）由于
10无本征值。按下式计算px的平均值:
*?x?n?x?dxpx???n?x?p
??
2n?x?ihd?2n?xsin?sindx??0ll?2?dx?ll nihln?xn?x??2?sincosdx?00lll
1【】求一维势箱中粒子在?1和?2状态时，在箱中0.49l~0.51l范围内出现的概率，并与图1.3.2（b）相比较，讨论所得结果是否合理。
解：（a）
?1?x???2?x??2?x2?xsin?12?x??sin2ll ll
22?x22?x2sin?2x??sin2?ll ll
22?x????x?，并列表如下： 12由上述表达式计算和
x/l 0 2?1?1?x?/l 0 2?2?x?/l?1 0
1/8
5/8
2/3
1/4
3/4
1/3
3/8 7/8
1/2 0 1 0 0
x/l
?12?x?/l?1
?22?x?/l?1
2?x?x图示于图中。
根据表中所列数据作n?? 2.0 -1??2.01.51.00.50.00.0 ?1 (x)/l1.00.50.00.020.20.40.6x / l0.81.0 ??x/l1.5?0.20.40.6x / l0.81.0 图
（b）粒子在?1状态时，出现在0.49l和0.51l间的概率为：
0.51l
P1?0.49l???x?dx210.51l
2?2?x?????lsinl??dx0.49l?? 0.51l2?x??sin2dxll0.49l2?xl2?x????sinl?24?l??0.49l
0.51l0.51l
粒子在ψ2状态时，出现在0.49l和0.51l见的概率为：
2?x??x1???sinl??l2??0.49l1?0.02??sin1.02??sin0.98??2??0.0399
0.51lP2?0.51l0.49l?2?2?x?dx2?22?x?????lsinl??dx0.49l???222?xsindx?ll0.49l0.51l0.51l2?xl4?x????sinl?28?l??0.49l4?x??x1???sinl??l4??0.49l4??0.51l??0.49l14??0.49l??0.51l1???sin??sin???4?l4?l?l??l? ?0.0001
（c）计算结果与图形符合。
【】链型共轭分子CH2CHCHCHCHCHCHCH2在长波方向160nm处出现第一个强吸收峰，试按一维势箱模型估算其长度。
解：该分子共有4对?电子，形成?n离域?键。当分子处于基态时，8个?电子占据能级最低的前4个分子轨道。当分子受到激发时，?电子由能级最高的被占轨道（n=4）跃迁到能级最低的空轨道（n=5），激发所需要的最低能量为ΔE＝E5－E4，而与此能量对应的吸收峰即长波方向460nm处的第一个强吸收峰。按一维势箱粒子模型，可得：
80.51lh2?E???2n?1??8ml2
hc因此：
??2n?1?h??l???8mc??12??2?4?1??6.626?10Jgs?460?10m?????318?18?9.109?10kg?2.988?10mgs?? ?1120pm
?34?912计算结果与按分子构型参数估算所得结果吻合。
【】一个粒子处在a?b?c的三维势箱中，试求能级最低的前5个能量值[以h/(8ma)为
2
2
单位]，计算每个能级的简并度。
解：质量为m的粒子在边长为a的立方箱中运动，其能级公式为：
Enx,ny,nzh2222?n?n?n?xyz?8ma2
12119E222E113=E131=E311E122=E212=E221
E111?3
E122=E212=E221=9 E113=E131=E311=11 E222=12
E112?E121?E211?6
【】若在下一离子中运动的?电子可用一维势箱近似表示其运动特征：
222E?nh/8mln估计这一势箱的长度l?1.3nm，根据能级公式估算?电子跃迁时所吸收
的光的波长，并与实验值nm比较。
HH3CCNCH3CHHCCHHCCHHCNCH3CH3
解：该离子共有10个?电子，当离子处于基态时，这些电子填充在能级最低的前5个
?型分子轨道上。离子受到光的照射，?电子将从低能级跃迁到高能级，跃迁所需要的最
低能量即第5和第6两个分子轨道的的能级差。此能级差对应于棘手光谱的最大波长。应用一维势箱粒子的能级表达式即可求出该波长：
62h252h211h2?E??E6?E5???22?8ml8ml8ml2 8mcl2??11hhc?8?9.1095?10?31kg?2.9979?108mgs?1??1.3?10?9m?11?6.6262?10?34Jgs2?506.6nm实验值为，计算值与实验值的相对误差为%。
【】已知封闭的圆环中粒子的能级为：
式中n为量子数，R是圆环的半径，若将此能级公式近似地用于苯分子中?6离域?键，取R=140pm，试求其电子从基态跃迁到第一激发态所吸收的光的波长。
解：由量子数n可知，n=0为非简并态，|n|≥1都为二重简并态，6个?电子填入n=0，1，?1等3个轨道，如图所示：
n2h2En?228?mR n?0,?1,?2,?3,???
64?E10??????