?1?252?16?11?28 ?1????31?24?3116?11?12。 ????31?24?31?（3）P???X???P?X?1??P?X?2??3. 一口袋中有6个球，在这6个球上分别标有-3，-3，1，1，1，2这样的数字。从这袋中任取一球，设各个球被取到的可能性相同，求取得的球上标明的数字X的分布律与分布函数。

解 X可能取的值为-3，1，2，且P?X??3??,P?X?1??,P?X?2??，即X的分布律为

X 概率 -3 1 31312161 1 22 1 6X的分布函数

0 x??3

F?x??P?X?x?=

1 ?3?x?1 35 1?x?2

6 1 x?2

4. 一袋中有5个乒乓球，编号分别为1，2，3，4，5，从中随机地取3个，以X表示取出的3个球中最大号码，写出X的分布律和分布函数。

解 依题意X可能取到的值为3，4，5，事件?X?3?表示随机取出的3个球的最大号码为3，则另两个球的只能为1号，2号，即P?X?3??11??5?10??3????；事件?X?4?表示随机取

出的3个球的最大号码为4，因此另外2个球可在1、2、3号球中任选，此时

?3??4???1??1??2??2??3?????6。 P?X?4???；同理可得P?X?5??1010?5??5??????3??3?????X的分布律为

X 概率 3 1104 3105 610 X的分布函数为

0 F?x??

110x?3

3?x?4 4?x?5

410

1 x?5

5. 在相同条件下独立地进行5次射击，每次射击时击中目标的概率为0.6，求击中目标的次数X的分布律。

解 依题意X服从参数n?5,p?0.6的二项分布，因此，其分布律

?5?k5?kP?X?k????k??0.60.4,k?0,1,?,5， ??具体计算后可得 X 概率 0 32 31251 48 6252 144 6253 216 6254 162 6255 243 31256. 从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件一件的抽取。设每次抽取时，各件产品被抽到的可能性相等。在下列三种情形下，分别求出直到取得正品为止所需次数X的分布律。

（1） 每次取出的产品立即放回这批产品中再取下一件产品； （2） 每次取出的产品都不放回这批产品中； （3） 每次取出一件产品后总是放回一件正品。

解 （1）设事件Ai,i?1,2,?表示第i次抽到的产品为正品，依题意，A1,?,An,?相互独立，且P?Ai??10,i?1,2,?而

13P?X?k??PA1?Ak?1Ak?PA1?PAk?1?3?P?Ak?????13?k?1??????10,k?1,2,? 13即X服从参数p?10的几何分布。

13（2）由于每次取出的产品不再放回，因此，X可能取到的值为1，2，3，4，

103?105,P?X?2???,1313?1226 3?2?1053?2?1?101P?X?3???,P?X?4???.13?12?1114313?12?11?10286P?X?1??X的分布律为

X 概率 P?X?1??1 10132 5263 5 1434 1 286（3）X可能取到的值为1，2，3，4， 103?1133,P?X?2???,1313?13169 3?2?12723?2?16P?X?3???,P?X?4???.13?13?13219713?13?132197所求X的分布律为

X 概率 1 10132 33 1693 7221974 62197 由于三种抽样方式不同，导致X的分布律也不一样，请仔细体会它们的不同处。 7. 设随机变量X~B?6,p?，已知P?X?1??P?X?5?，求p与P?X?2?的值。 解 由于X~B?6,p?，因此P?X?6????即

6p?1?p??6p5?1?p?,

5?6?k?p?1?p?6?k,k?0,1,?,6。 ??k?由此可算得 P?X?1??6p?1?p?5,P?X?5??6p5?1?p?,

解得p?1；

2

6?6??1??1?此时，P?X?2????2???2??2???????26?26?5?1?15?????。 2!?2?64 8. 掷一枚均匀的硬币4次，设随机变量X表示出现国徽的次数，求X的分布函数。

解 一枚均匀硬币在每次抛掷中出现国徽的概率为1，因此X服从n?4,p?1的二项

22分布，即

?4??1??1?P?X?k????k???2??2???????k4?k,k?0,1,2,3,4

由此可得X的分布函数

0， F?x??

116x?0

， 0?x?1

9. 某商店出售某种物品，根据以往的经验，每月销售量X服从参数??4的泊松分布，问在月初进货时，要进多少才能以99%的概率充分满足顾客的需要？

解 设至少要进n件物品，由题意n应满足 P?X?n?1??0.99,P?X?n??0.99, 即 P?X?n?1???nn?14kk?05， 1?x?2 16 11， 2?x?3

16 15， 3?x?4

16 1， x?4

k!e?4?0.99

4k?4P?X?n???e?0.99

k!k?0查泊松分布表可求得 n?9。

10. 有一汽车站有大量汽车通过，每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。

解 设X为1000辆汽车中出事故的次数，依题意，X服从n?1000,p?0.0001的二项分布，即X~B?1000,0.0001?，由于n较大，p较小，因此也可以近似地认为X服从??np?1000?0.0001?0.1的泊松分布，即X~P?0.1?，所求概率为

P?X?2??1?P?X?0??P?X?1?0.10?0.10.11?0.1 ?1?e?e0!1!?1?0.904837?0.090484?0.004679.11. 某试验的成功概率为0.75，失败概率为0.25，若以X表示试验者获得首次成功所进行的试验次数，写出X的分布律。

解 设事件Ai表示第i次试验成功，则P?Ai??0.75，且A1,?,An,?相互独立。随机变量X取k意味着前k?1次试验未成功，但第k次试验成功，因此有

P?X?k??P?A1?Ak?1Ak??P?A1??P?Ak?1?P?Ak??0.25k?10.75

所求的分布律为 X 1 2 … … k 0.25k?1?0.75 … 概率 0.75 0.25?0.75 … 12. 设随机变量X的密度函数为 f?x?? 2x， 0?x?A

0， 其他，

试求：（1）常数A；（2）X的分布函数。

解 （1）f?x?成为某个随机变量的密度函数必须满足二个条件，其一为f?x??0；其

A二为????，因此有??fxdx?1?02xdx?1，解得A??1，其中A??1舍去，即取A?1。 ?（2）分布函数

F?x??P?X?x?????f?x?dx

x???0dxx = ??0?0dx??0x2xdx???0dx??02xdx??10dx001x

x?00?x?1 x?1x?00?x?1

x?1,???x???，求：（1）系数A；（2）P?0?X?1?；

=

x21

13. 设随机变量X的密度函数为f?x??Ae?x（3）X的分布函数。

?x?xe解 （1）系数A必须满足????，由于为偶函数，所以 Aedx?1????????x?x?x???Aedx?2?0Aedx?2?0Aedx?1

解得A?1；

2

111?x11（2）P?0?X?1???0edx??0e?xdx??1?e?1?；

2f?x?dx

x22（3）F?x?????x =

1?x???2edx

01?xx1?x???2edx??02edxxx?0

x?0

1xx?0???2edx =

01x1x?xx?0???2edx??02edx =

=

14. 证明：函数

f?x??

1xx?0e2 11?1?e?xx?0221xx?0e2 1?x1?ex?02??

x?2cec0x2x?0

x?0 （c为正的常数）

为某个随机变量X的密度函数。

???xf?x?dx????证 由于f?x??0，且????cx2?e2cdx???x2????2cd??e0??x????2c??2x2?e2c???1，

0因此f?x?满足密度函数的二个条件，由此可得f?x?为某个随机变量的密度函数。 15. 求出与密度函数