3.2.1-3.2.2 导数的概念 导数的几何意义
[基础达标]
1.若f(x)在x＝xf（x0＋h）－f（x0）
0处存在导数，则limh→0
h( ) A．与x0，h都有关 B．仅与x0有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0，h都无关
解析：选B.f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，而与h无关．
2.在曲线y＝x2
上点P处的切线的倾斜角为π4
，则点P的坐标为( )
A.???－12，14??? B.??11?2，4???
C.?
?2，1?
? D.??21?48??
－4，?
8??
解析：选B.设切点P的坐标为(x0，y0)，则y′|x＝x0
＝limx→0 （x2－x2
0＋Δx）0
ΔΔx＝Δlimx→0 (2x0＋Δx)＝2x0， ∴2xπ141，x111
0＝tan＝0＝2，y0＝4，∴切点P(2，4
)．
3.已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为( A．3，3 B．3，－1 C．－1，3 D．－1，－1 解析：选B.f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1.
4.设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于( ) A．2 B．－2 C．3 D．－3
解析：选A.∵limf（1＋Δx）－f（1）
Δx→0 Δx ＝a（1＋Δx）＋4－a－4
Δlimx→0 Δx ＝a，∴f′(1)＝a，又f′(1)＝2，∴a＝2.
5.曲线f(x)＝x3
＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( A．(1，0) B．(1，0)或(－1，－4) C．(2，8) D．(2，8)或(－1，－4)
解析：选B.设PyΔyf（x0＋Δx）－f（x0）
0(x0，0)，Δx＝Δx
＝（x＋Δx）3＋（x3
00＋Δx）－2－（x0＋x0－2）Δx
＝（3x2x＋3x2x）3
0＋1）Δ0（Δx）＋（ΔΔx ＝3x2＋(Δx)2
0＋1＋3x0Δx，
f′(xΔy2
0)＝Δlimx→0 Δx＝3x0＋1， ∴3x2，x2
0＋1＝40＝1，x0＝±1，当x0＝1时，y0＝0， x0＝－1时，y0＝－4，∴P0为(1，0)或(－1，－4)．
) ) 1
1
6.函数f(x)＝x－在x＝1处的导数为________．
x1Δx?1?解析：Δy＝(1＋Δx)－－?1－?＝Δx＋， 1＋Δx?1?1＋ΔxΔxΔx＋
1＋ΔxΔy1
＝＝1＋， ΔxΔx1＋ΔxΔy?1＋1?＝2，从而f′(1)＝2.
∴Δlim ＝lim ?1＋Δx?x→0ΔxΔx→0??答案：2
2
7.过点P(－1，2)且与曲线y＝3x－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线方程是________．
解析：f′(1)＝
22
3（1＋Δx）－4（1＋Δx）＋2－（3×1－4×1＋2）lim ＝2， Δx→0Δx∴过点P(－1，2)且与切线平行的直线方程为y－2＝2(x＋1)，即y＝2x＋4. 答案：y＝2x＋4
2
8.过点(3，5)且与曲线f(x)＝x相切的直线的方程为________．
2
解析：∵当x＝3时，f(3)＝3＝9，
2
∴点(3，5)不在曲线y＝x上，
2
设切点为A(x0，y0)，即A(x0，x0)， 则在点A处的切线斜率k＝f′(x0)． f（x0＋Δx）－f（x0）∵
Δx22
（x0＋Δx）－x0＝＝2x0＋Δx，
Δx当Δx→0时，2x0＋Δx→2x0，∴k＝f′(x0)＝2x0，
2
∴在点A处的切线方程为y－x0＝2x0(x－x0)，
2
即2x0x－y－x0＝0，又∵点(3，5)在切线上，
22
∴6x0－5－x0＝0，即x0－6x0＋5＝0，
∴x0＝1或x0＝5，∴切点为(1，1)或(5，25)， ∴切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)， 即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 答案：2x－y－1＝0或10x－y－25＝0
1
9.利用导数的定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数．
2＋3x11－3Δx－Δyf（1＋Δx）－f（1）2＋3（1＋Δx）2＋3×15（5＋3Δx）
解：因为＝＝＝＝ΔxΔxΔxΔx－3
，
5（5＋3Δx）
Δy－33
所以f′(1)＝Δlim ＝lim ＝－. x→0ΔxΔx→05（5＋3Δx）25
7?1?10.求曲线f(x)＝－x在点P?4，－?处的切线方程． 4?x?
f（4＋Δx）－f（4）
解：f′(4)＝Δlim x→0Δx 2
＝Δlim x→0
?1－1?－（4＋Δx－2）
?4＋Δx4???
Δx
－ΔxΔx－4（4＋Δx）4＋Δx＋2
＝Δlim x→0Δx－115??－＝Δlim ＝－. ??x→0164＋Δx＋2??4（4＋Δx）
575
故所求切线的斜率为－，所求切线方程为y＋＝－(x－4)，即5x＋16y＋8＝0.
16416
[能力提升]
1.已知函数f(x)在x＝1处的导数为1，则
f（1－x）－f（1＋x）lim ＝( ) x→03x2
A．3 B．－ 3
13C. D．－ 32
f（1－x）－f（1＋x）
解析：选B.f′(1)＝1，lim ＝lim x→0x→03x?1·f（1－x）－f（1）＋f（1）－f（1＋x）? ?3?x??
?1·f（1－x）－f（1）?＋lim ?1·f（1）－f（1＋x）? ＝lim ??x→0?3?x→0?3xx???
1f（1－x）－f（1）1f（1＋x）－f（1）＝－lim －lim
3x→0－x3x→0x11
＝－f′(1)－f′(1)
332
＝－f′(1)
32＝－. 3
2.函数y＝4－x在x＝1处的导数为________．
2
解析：作出函数y＝4－x的图像如图．
2
由导数的几何意义可知，函数y＝4－x在x＝1处的导数即为半圆在点P(1, 3)处的切线的斜率．
113
∴kl＝ －＝－＝－. kOP33
答案：－
3 3
21
3.设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a＞0)．若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))
ax 3