(2019-2020)【重点资料】高中数学 第三章 变化率与导数 3.2.1-3.2.2 导数的概念 导数的几何意义作业1【必 下载本文

3.2.1-3.2.2 导数的概念 导数的几何意义

[基础达标]

1.若f(x)在x=xf(x0+h)-f(x0)

0处存在导数,则limh→0

h( ) A.与x0,h都有关 B.仅与x0有关,而与h无关 C.仅与h有关,而与x0无关 D.与x0,h都无关

解析:选B.f(x)在x=x0处的导数与x0有关,而与h无关.

2.在曲线y=x2

上点P处的切线的倾斜角为π4

,则点P的坐标为( )

A.???-12,14??? B.??11?2,4???

C.?

?2,1?

? D.??21?48??

-4,?

8??

解析:选B.设切点P的坐标为(x0,y0),则y′|x=x0

=limx→0 (x2-x2

0+Δx)0

ΔΔx=Δlimx→0 (2x0+Δx)=2x0, ∴2xπ141,x111

0=tan=0=2,y0=4,∴切点P(2,4

).

3.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=-x+8,则f(5)及f′(5)分别为( A.3,3 B.3,-1 C.-1,3 D.-1,-1 解析:选B.f(5)=-5+8=3,f′(5)=-1.

4.设f(x)=ax+4,若f′(1)=2,则a等于( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3

解析:选A.∵limf(1+Δx)-f(1)

Δx→0 Δx =a(1+Δx)+4-a-4

Δlimx→0 Δx =a,∴f′(1)=a,又f′(1)=2,∴a=2.

5.曲线f(x)=x3

+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则P0点的坐标为( A.(1,0) B.(1,0)或(-1,-4) C.(2,8) D.(2,8)或(-1,-4)

解析:选B.设PyΔyf(x0+Δx)-f(x0)

0(x0,0),Δx=Δx

=(x+Δx)3+(x3

00+Δx)-2-(x0+x0-2)Δx

=(3x2x+3x2x)3

0+1)Δ0(Δx)+(ΔΔx =3x2+(Δx)2

0+1+3x0Δx,

f′(xΔy2

0)=Δlimx→0 Δx=3x0+1, ∴3x2,x2

0+1=40=1,x0=±1,当x0=1时,y0=0, x0=-1时,y0=-4,∴P0为(1,0)或(-1,-4).

) ) 1

1

6.函数f(x)=x-在x=1处的导数为________.

x1Δx?1?解析:Δy=(1+Δx)--?1-?=Δx+, 1+Δx?1?1+ΔxΔxΔx+

1+ΔxΔy1

==1+, ΔxΔx1+ΔxΔy?1+1?=2,从而f′(1)=2.

∴Δlim =lim ?1+Δx?x→0ΔxΔx→0??答案:2

2

7.过点P(-1,2)且与曲线y=3x-4x+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________.

解析:f′(1)=

22

3(1+Δx)-4(1+Δx)+2-(3×1-4×1+2)lim =2, Δx→0Δx∴过点P(-1,2)且与切线平行的直线方程为y-2=2(x+1),即y=2x+4. 答案:y=2x+4

2

8.过点(3,5)且与曲线f(x)=x相切的直线的方程为________.

2

解析:∵当x=3时,f(3)=3=9,

2

∴点(3,5)不在曲线y=x上,

2

设切点为A(x0,y0),即A(x0,x0), 则在点A处的切线斜率k=f′(x0). f(x0+Δx)-f(x0)∵

Δx22

(x0+Δx)-x0==2x0+Δx,

Δx当Δx→0时,2x0+Δx→2x0,∴k=f′(x0)=2x0,

2

∴在点A处的切线方程为y-x0=2x0(x-x0),

2

即2x0x-y-x0=0,又∵点(3,5)在切线上,

22

∴6x0-5-x0=0,即x0-6x0+5=0,

∴x0=1或x0=5,∴切点为(1,1)或(5,25), ∴切线方程为y-1=2(x-1)或y-25=10(x-5), 即2x-y-1=0或10x-y-25=0. 答案:2x-y-1=0或10x-y-25=0

1

9.利用导数的定义求函数f(x)=在x=1处的导数.

2+3x11-3Δx-Δyf(1+Δx)-f(1)2+3(1+Δx)2+3×15(5+3Δx)

解:因为====ΔxΔxΔxΔx-3

5(5+3Δx)

Δy-33

所以f′(1)=Δlim =lim =-. x→0ΔxΔx→05(5+3Δx)25

7?1?10.求曲线f(x)=-x在点P?4,-?处的切线方程. 4?x?

f(4+Δx)-f(4)

解:f′(4)=Δlim x→0Δx 2

=Δlim x→0

?1-1?-(4+Δx-2)

?4+Δx4???

Δx

-ΔxΔx-4(4+Δx)4+Δx+2

=Δlim x→0Δx-115??-=Δlim =-. ??x→0164+Δx+2??4(4+Δx)

575

故所求切线的斜率为-,所求切线方程为y+=-(x-4),即5x+16y+8=0.

16416

[能力提升]

1.已知函数f(x)在x=1处的导数为1,则

f(1-x)-f(1+x)lim =( ) x→03x2

A.3 B.- 3

13C. D.- 32

f(1-x)-f(1+x)

解析:选B.f′(1)=1,lim =lim x→0x→03x?1·f(1-x)-f(1)+f(1)-f(1+x)? ?3?x??

?1·f(1-x)-f(1)?+lim ?1·f(1)-f(1+x)? =lim ??x→0?3?x→0?3xx???

1f(1-x)-f(1)1f(1+x)-f(1)=-lim -lim

3x→0-x3x→0x11

=-f′(1)-f′(1)

332

=-f′(1)

32=-. 3

2.函数y=4-x在x=1处的导数为________.

2

解析:作出函数y=4-x的图像如图.

2

由导数的几何意义可知,函数y=4-x在x=1处的导数即为半圆在点P(1, 3)处的切线的斜率.

113

∴kl= -=-=-. kOP33

答案:-

3 3

21

3.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax++b(a>0).若曲线y=f(x)在点(1,f(1))

ax 3