微分几何复习题

一、填空题

1. 向量r(t)?(t,3t,a)具有固定方向，则a= 。 2. 非零向量r(t)满足?r,r?,r????0的充要条件是 。 3. 若向量函数r(t)满足r(t)?r?(t)?0，则r(t)具有固定 。 4. 曲线r?r(t)的正常点是指满足 的点. 5. 曲线r(t)?(2t,t3,et)在任意点的切向量为 。

6. 曲线r(t)?(acosht,asinht,at)在t?0点的切向量为 。 7. 曲线r(t)?(acost,asint,bt)在t?0点的切向量为 。 8. 设曲线在P点的切向量为?，主法向量为?，则过P由?,?确定的平面 是曲线在P点的 。

9. 若r(t0)是曲线r?r(t)的正则点，则曲线r?r(t)在r(t0)的密切平面方程是 。

10. 曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是 。

11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率?? 。 12. 曲线r?r(t)在t = 1点处有??2?，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率

?(1)= 。

13. 曲线x=cost，y=sint, z=t在t=0处的切线方程是 。 14. 曲线的主法向量的正向总是指向 。

15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量 。 16. 曲线r?r(t)的曲率是 。 17. 曲线r?r(t)的挠率是 。

18. 一般螺线的曲率和挠率的关系是 。

19. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是 。

20. 设有曲线C:x?et,y?e?t,z?t2，当t?1时的切线方程为 。 21. 设有曲线x?etcost,y?etsint,z?et，当t?0时的切线方程为 。

22. 曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的向量式法平面方程是 。

23. 曲线r?r(t)在P(t0)点的主法向量是?，则曲线在P点的从切平面方程是 。

24. 设曲线r?r(s)，其中s为曲线的自然参数，则r(s)? 。 25. 半径为1的圆的挠率τ= 。

26. 曲线在P点的挠率τ0 时，表明曲线由下往上经过P点时成右旋曲线.

27. 向量函数r=r(t)对任意t有r′(t)⊥r(t)的充要条件是 。 28. 已知曲线r=r(t)在P点的单位切向量为?=(0,1,0)，单位主法向量

?=(0,0,1)，则曲线在P点的单位副法向量r= 。

29. 曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是的 的不变量。

31. 若点(u0, v0)为曲面的正则点，则ru?rv在(u0, v0)满足 。 32. 曲面z?z(x,y)在点(x0,y0,z0)的法线方程是 。 33. 如果u?曲线族和v?曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 。

34. 已知曲面r?r(u,v)的第一类基本量为E、F、G，则两方向du:dv与?u:?v垂直的充要条件是 。

35. 对曲面r?r(u,v)有dr2?4du2?3dv2,则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从t0到t (t >t0)的弧长s = 。

36. 若曲面r?r(u,v)在(0，1)点处的第二基本形式????du2?3dv2，则在(0，

1)点处，ru?nu? 。其中n为曲面的单位法向量。

37. 已知曲面r?r(u,v)的第二类基本量L、M、N，则曲面上渐近曲线的微分方程是 。

38. 挠率 的曲线其副法向量是常向量。 39. 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是

40. 曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为 。

41. 半径为R的球面的高斯曲率K= 。

42．在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关系 。 43．曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是 。 44．曲面上的曲纹坐标网为正交网的充要条件是 。 45．极小曲面是指 的曲面。 46．曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的 的最大值和最小值.

47．两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是 。 48．设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的 。

49．法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向.

50．距离单位球面球心距离为d (0

51．在脐点处曲面的第一、第二类基本量满足 , 把第二类基本量L=M=N=0的脐点称为 。

52．法曲率的最大值和最小值正好是 , 使法曲率达到最大值和最小值的方向是 方向.

53．平面r?(u,v,0)的第一基本形式为 。

54．悬链面r?(coshucosv,coshusinv,u)的第一类形式是 。 55．正螺面r?(ucosv,usinv,bv)的第一基本形式是 。 56．函数?N是主曲率的充要条件是 。 57．方向(d)?du:dv是主方向的充要条件是 。

58．根据罗德里格定理，如果方向(d)?(du:dv)是主方向，则 ，其中???kn是曲面沿方向(d)的法曲率。

59．若曲面S为平面,则其第二基本形式Ⅱ= 。

60．曲面r?r(u,v)上使 的点叫做曲面上的正常点. 61．曲面之间的一个变换，如果使两曲面间对应曲线的交角相等，则称这个变换为 。

62．若曲面r?r(u,v)在(0, 1)点处的第二基本形式Ⅱ=du2+3dv2, n为曲面的单位法向量，则在(0, 1)点处，ru?nu= 。

二、单项选择题

1．曲率和挠率均为非零常数的曲线是 ( )

A. 直线； B. 圆； C. 圆柱螺线； D. 平面曲线