第一章 集合与函数概念 知识点总结 下载本文

第一章 集合与函数概念

1. 集合的含义与表示 (1)集合的概念

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法

N表示自然数集,N?或N?表示正整数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表

示实数集.

(3)集合与元素间的关系

对象a与集合M的关系是a?M,或者a?M,两者必居其一. (4)集合的表示法

①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{x|x具有的性质},其中x为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 2. 集合间的基本关系

(1)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 (1)A?A A中的任一元素都属于B (2)??A (3)若A?B且B?C,则A?C (4)若A?B且B?A,则A?B (1)??A(A为非空子集) ?性质 示意图 A?B 子集 (或A(B)BAB?A) A?B ?或 A?B,且B中至少有一元素不属于A 真子集 (或B??(2)若A?B且B?C,则A?C ???BAA) 集合 相等 A中的任一元素都(1)A?B 属于B,B中的任(2)B?A 一元素都属于A n A?B A(B) nn(2)已知集合A有n(n?1)个元素,则它有2个子集,它有2?1个真子集,它有2?1个

n非空子集,它有2?2非空真子集.

3. 集合的基本运算 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 A B{x|x?A,且x?B} (1)A(2)A(3)A A(1)A(2)A(3)A A并集 A B{x|x?A,或x?B} A?A ??? B?A B?B A?A ??A B?A B?B 1 A(eUA)??AB AB 补集 eUA {x|x?U,且x?A} 痧B)?(UA)(?U(AUB)痧B)?(UA)(?U(AUB)2A(eUA)?U

4. 含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 |x|?a(a?0) {x|?a?x?a} |x|?a(a?0) x|x??a或x?a} 把ax?b看成一个整体,化成|x|?a,|ax?b|?c,|ax?b|?c(c?0) |x|?a(a?0)型不等式来求解 5. 一元二次不等式的解法 判别式 ??b2?4ac 二次函数??0 ??0 ??0 y?ax2?bx?c(a?0)的图象 一元二次方程O ax2?bx?c?0(a?0)的根 ?b?b2?4acx1,2?2a(其中x1?x2) x1?x2??b 2a无实根 ax2?bx?c?0(a?0)的解集 {x|x?x1或x?x2} {x|x??b} 2aR ax2?bx?c?0(a?0)的解集 6. 函数的概念 {x|x1?x?x2} ? ? 设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f,对于集合A中任何一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么这样的对应(包括集合A,B以及

A到B的对应法则f)叫做集合A到B的一个函数,记作f:A?B.

7. 函数的三要素:定义域、值域和对应法则.

8. 只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. 9.区间的概念及表示法

①设a,b是两个实数,且a?b,满足a?x?b的实数x的集合叫做闭区间,记做[a,b];满足a?x?b的实数x的集合叫做开区间,记做(a,b);满足a?x?b,或a?x?b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别记做[a,b),(a,b];满足x?a,x?a,x?b,x?b的实数x的集合分别记做[a,??),(a,??),(??,b],(??,b).

注意:对于集合{x|a?x?b}与区间(a,b),前者a可以大于或等于b,而后者必须

a?b,(前者可以不成立,为空集;而后者必须成立).

10. 求函数的定义域时,一般遵循以下原则:

①f(x)是整式时,定义域是全体实数.

②f(x)是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数.

③f(x)是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.

④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1.

⑤y?tanx中,x?k???2(k?Z).

⑥零(负)指数幂的底数不能为零.

⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集.

⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a?g(x)?b解出.

⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. 11. 求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值