第一章 集合与函数概念

1. 集合的含义与表示 （1）集合的概念

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法

N表示自然数集，N?或N?表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表

示实数集.

（3）集合与元素间的关系

对象a与集合M的关系是a?M，或者a?M，两者必居其一. （4）集合的表示法

①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类

①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 2. 集合间的基本关系

（1）子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 (1)A?A A中的任一元素都属于B (2)??A (3)若A?B且B?C，则A?C (4)若A?B且B?A，则A?B （1）??A（A为非空子集） ?性质 示意图 A?B 子集 （或A(B)BAB?A) A?B ?或 A?B，且B中至少有一元素不属于A 真子集 （或B??(2)若A?B且B?C，则A?C ???BAA） 集合 相等 A中的任一元素都(1)A?B 属于B，B中的任(2)B?A 一元素都属于A n A?B A(B) nn（2）已知集合A有n(n?1)个元素，则它有2个子集，它有2?1个真子集，它有2?1个

n非空子集，它有2?2非空真子集.

3. 集合的基本运算 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 A B{x|x?A,且x?B} （1）A（2）A（3）A A（1）A（2）A（3）A A并集 A B{x|x?A,或x?B} A?A ??? B?A B?B A?A ??A B?A B?B 1 A(eUA)??AB AB 补集 eUA {x|x?U,且x?A} 痧B)?(UA)(?U(AUB)痧B)?(UA)(?U(AUB)2A(eUA)?U

4. 含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 |x|?a(a?0) {x|?a?x?a} |x|?a(a?0) x|x??a或x?a} 把ax?b看成一个整体，化成|x|?a，|ax?b|?c,|ax?b|?c(c?0) |x|?a(a?0)型不等式来求解 5. 一元二次不等式的解法 判别式 ??b2?4ac 二次函数??0 ??0 ??0 y?ax2?bx?c(a?0)的图象 一元二次方程O ax2?bx?c?0(a?0)的根 ?b?b2?4acx1,2?2a（其中x1?x2) x1?x2??b 2a无实根 ax2?bx?c?0(a?0)的解集 {x|x?x1或x?x2} {x|x??b} 2aR ax2?bx?c?0(a?0)的解集 6. 函数的概念 {x|x1?x?x2} ? ? 设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及

A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:A?B．

7. 函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

8. 只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． 9.区间的概念及表示法

①设a,b是两个实数，且a?b，满足a?x?b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足a?x?b的实数x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a?x?b，或a?x?b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做[a,b)，(a,b]；满足x?a,x?a,x?b,x?b的实数x的集合分别记做[a,??),(a,??),(??,b],(??,b)．

注意：对于集合{x|a?x?b}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须

a?b，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）．

10. 求函数的定义域时，一般遵循以下原则：

①f(x)是整式时，定义域是全体实数．

②f(x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．

③f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．

④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．

⑤y?tanx中，x?k???2(k?Z)．

⑥零（负）指数幂的底数不能为零．

⑦若f(x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．

⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f(x)的定义域为[a,b]，其复合函数f[g(x)]的定义域应由不等式a?g(x)?b解出．

⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 11. 求函数的值域或最值

求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值