（数学选修2-1）第三章 空间向量与立体几何解答题精选

1 已知四棱锥P?ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，

1?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA?AD?DC?，

2AB?1，M是PB的中点

（Ⅰ）证明：面PAD?面PCD； （Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小

证明：以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为

1A(0,0,0),B(0,2,0),C(1,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,)

2（Ⅰ）证明：因AP?(0,0,1),DC?(0,1,0),故AP?DC?0,所以AP?DC.

由题设知AD?DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC?面PAD 又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD （Ⅱ）解：因AC?(1,1,0),PB?(0,2,?1),

故|AC|?2,|PB|?5,AC?PB?2,所以10cos?AC,PB???.5|AC|?|PB|AC?PB

（Ⅲ）解：在MC上取一点N(x,y,z)，则存在??R,使NC??MC,

11NC?(1?x,1?y,?z),MC?(1,0,?),?x?1??,y?1,z??..

2214要使AN?MC,只需ANMC?0即x?z?0,解得??.

25412可知当??时,N点坐标为(,1,),能使AN?MC?0.555

1212此时,AN?(,1,),BN?(,?1,),有BN?MC?05555由AN?MC?0,BN?MC?0得AN?MC,BN?MC.所以?ANB为

所求二面角的平面角

30304,|BN|?,ANBN??.555ANBN2 ?cos(AN,BN)???.3|AN|?|BN|2故所求的二面角为arccos(?).3|AN|?

2 如图，在四棱锥V?ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,

平面VAD?底面ABCD （Ⅰ）证明：AB?平面VAD；

（Ⅱ）求面VAD与面DB所成的二面角的大小

证明：以D为坐标原点，建立如图所示的坐标图系 （Ⅰ）证明：不防设作A(1,0,0)，

则B(1,1,0)， V(,0,123)， 2

，因而AB与平面VAD内两条相交直线VA，

13AB?(0,1,0),VA?(,0,?)

22B?AD由AB?VA?0,得AB?VA，又AAD都垂直 ∴AB?平面VAD

（Ⅱ）解：设E为DV中点，则E(,0,143)， 4333313EA?(,0,?),EB?(,1,?),DV?(,0,).

444422由EB?DV?0,得EB?DV,又EA?DV. 因此，?AEB是所求二面角的平面角，

cos(EA,EB)?EA?EB|EA|?|EB|?21, 7解得所求二面角的大小为arccos21.

73 如图，在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为矩形， 侧棱PA?底面ABCD，AB?3，BC?1，PA?2， VDABC E为PD的中点

（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE?面PAC，

并求出点N到AB和AP的距离

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A,B,C,D,P,E的坐标为A(0,0,0)、

B(3,0,0)、C(3,1,0)、D(0,1,0)、

1P(0,0,2)、E(0,,1)，

2

从而AC?(3,1,0),PB?(3,0,?2). 设AC与PB的夹角为?，则

cos??AC?PB|AC|?|PB|?327?37, 14∴AC与PB所成角的余弦值为

37 14 （Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0,z)，则

1NE?(?x,,1?z)，由NE?面PAC可得，

2??NE?AP?0,???NE?AC?0.?1?3z?1?0,(?x,,1?z)?(0,0,2)?0,?x?????2 ∴?6 即?化简得?1?3x??0.?z?1?(?x,1,1?z)?(3,1,0)?0.?2???2?33 ,0,1)，从而N点到AB和AP的距离分别为1,66即N点的坐标为(4 如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中

AB?4,BC?2,CC1?3,BE?1

（Ⅰ）求BF的长；

（Ⅱ）求点C到平面AEC1F的距离

解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,4,0)

A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3)设F(0,0,z)

∵AEC1F为平行四边形，