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第十三讲 刚体的运动学与动力学问题

一 竞赛内容提要 1、刚体；2、刚体的平动和转动；3、刚体的角速度和角加速度；4、刚体

的转动惯量和转动动能；5、质点、质点系和刚体的角动量；6、转动定理和角动量定理；7、角动量守恒定律。 二 竞赛扩充的内容

1、刚体：在外力的作用下不计形变的物体叫刚体。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动，刚体的任何复杂运动均可由这两种基本运动组合而成。

2、刚体的平动；刚体的平动指刚体内任一直线在运动中始终保持平行，刚体上任意两点运动的位移、速度和加速度始终相同。

3、刚体绕定轴的转动；刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动，刚体上各点都在与转轴垂直的平面内做圆周运动，各点做圆周运动的角位移Φ、角速度ω和角加速度β相同（可与运动

学的s、v、a进行类比）。且有：ω=

lim?t?0?????t；β=lim?t?0?t。当β为常量时，刚体做匀加

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速转动，类似于匀加速运动，此时有：ω=ω0+βt； Φ=Φ0+ω0t+βt/2；

ω－ω0=2β（Φ－Φ0）。式中，Φ0、ω0分别是初始时刻的角位移和角速度。对于绕定轴运动

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的刚体上某点的运动情况，有：v=ωR， aτ=βR， an=ωR=v/R, 式中，R是该点到轴的距离，aτ、an分别是切向加速度和法向加速度。

例1 有一车轮绕轮心以角速度ω匀速转动，轮上有一小虫自轮心沿一根辐条向外以初速度v0、

加速度a作匀加速爬行，求小虫运动的轨迹方程。

例2 一飞轮作定轴转动，其转过的角度θ和时间t的关系式为：θ=at+bt－ct，式中，a、b、c都是恒量，试求飞轮角加速度的表示式及距转轴r处的切向加速度和法向加速度。 例3 如图所示，顶杆AB可在竖直槽K内滑动，其下端由凸轮K推动，凸轮绕

O轴以匀角速度ω转动，在图示瞬间，OA=r，凸轮轮缘与A接触处，法线n与OA之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆OA的速度。

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B K A ω O α n M 实用标准文案

例4 人在电影屏幕上看到汽车向前行驶，车轮似乎并没有转动时，则汽车运动的可能的最小速度是多少？已知电影每秒钟放映24个画面，车轮半径为0.5m.

例5 在水平路面上匀速行驶的拖拉机前轮直径为0.8m，后轮直径为1.25m，两轮的轴的距离为2m，如图所示，在行驶过程中，从前轮边缘的最高点A处水平飞出一小石块，0.2s后后轮边缘的最高点B处也水平飞出一小石块，这两块石块先后落在地面上同一处，求拖拉机行驶时速度的大小。

B A O 2m O′

例6如图所示，由两个圆球所组成的滚珠轴承内环半径为R2，外环半径为R1，在两环之间分布的小球半径为r。外环以线速度v1顺时针方向转动，而内环则以线速度v2顺时针方向转动，试求小球中心在围绕圆环的中心顺时针转动的线速度v和小球自转的角速度ω。设小球与圆环间无滑动。

v ω R2 R1 R

例7一木板从空中下落，某时刻，板上a、b两点速度相同，va=vb=v，a、b两点均位于板面上，同时还发现板上c点速度为2v，c点到a和b两点的距离等于a和b两点间的距离。问板上那些点的速度等于3v？

4、力矩 （1）对转动轴的力矩 如图，转动轴过O点并垂直于纸面，过P点的力F对O轴的力矩M=Fr。其中，r为力臂。∵r=ρsinθ，∴M=Fsinθ·ρ。即，F对轴O的力矩，等于F垂直于OP连线的分力Fφ与OP的积：M=Fφ·ρ。

Fφ O F ρ r P θ Fρ

z F∥ O F 当力的作用线不在垂直于轴的直线上时，可将力F分解为平行于轴的分量F∥和垂直于轴的分量F⊥，其中，F∥对物体绕轴的转动没有贡献，F⊥就是F在垂直于轴的平面上的投影，此时，F对轴的力矩可写成：M= F⊥·ρsinθ。

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ρ θ F⊥ 实用标准文案

（2）对参考点的力矩 如图，F对O点的力矩M=Fsinθ·ρ。 5、质点的角动量

如右下图，质点m对 点O的角动量L=r×p=r·psinθ=mv·r·sinθ，角动量又叫做动量矩（与力矩类比）。同一质点对不同的参考点的角动量是不同的。特别地，当p⊥r时，角动量L=mvr。 6、质点系（或刚体）的角动量

O Fφ F ρ θ Fρ

p O r m θ 即各质点角动量的总和，L=∑miviri=（∑miri）ω=Iω。其中，I是刚体的转动惯量（I的数值不

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要求会计算）。质点对轴的转动惯量为：I=mr，r是转动半径。 7、刚体的转动动能 刚体的动能包括质心的平动动能（EK=mv/2）和相对质心的转动动能，其中，

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转动动能的大小： Ek=∑mivi/2=1/2（∑miri）ω=（1/2）Iω。 8、刚体绕定轴转动的基本规律

（1）力矩M和角加速度β的关系 M=Iβ（类比于F=ma）；（2）合力矩做的功和刚体转动动能的

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关系 W=F·S=F·rθ=Mθ=（1/2）Iωt－（1/2）Iω0.（与动能定理类比）。 （2）质点、质点系或刚体的角动量定理L=∑miviri（若是质点则不用∑符号），∴⊿L/⊿t=∑⊿L/⊿t=∑（Fi＋fi）ri，式中，Fi表示第i个质点受到的外力，fi表示该质点受到的系统内力。∵内力矩为零，∴⊿L/⊿t=∑Firi=M外，即M外⊿t=Lt－L0（与动量定理类比）。角动量定理可写成分量式。

（3）质点、质点系或刚体的角动量守恒定律 当M外=0时，L=恒量（与动量守恒类比），即系统的角动量守恒。其中，M外=0有以下三种情况：（i）体系不受外力，即Fi=0（合外力为零≠合力矩为零，如力偶矩的情况）；（ii）所有外力都通过定点（这种外力叫有心力，如卫星所受的万有引力），尽管外力的矢量和不为零，但每个外力的力矩都为零；（iii）

m，l 每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。 A θ

例8、质量为m，长为l的均质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度ω转动时，它的动能和相对端点的角动量的大小分别为

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Ek=Iω/2，L=Iω,其中，I=ml/3，现将此杆从水平位置由静止释放，设此杆能绕着过A的固定光滑细轴摆下，当摆角从0达θ时，试求：（1）细杆转动的角速度ω和角加速度β；（2）固定光滑细轴为杆提供的支持力。

例9、质量为M，半径为R的均质圆盘，绕过圆心且与圆盘垂直的轴以角速度

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ω旋转时的角动量大小为L=Iω，其中，I=MR/2，如图，细绳质量可忽略，绳与圆盘间无相对滑动，滑轮与轴之间无摩擦，m1＞m2，试求物体运动的加速度。

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β M R a m1 a m2