习 题 二

1. 一袋中装有5只球，编号依次为1，2，3，4，5.在袋中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大的号码，写出随机变量X的分布律.

解 以X表示取出的3只球中的最大的号码，由古典概型易知X的分布律为 X 3 4 5

pk 2 C311C2334 3? 3? 3 ? C510C55C510

2.一批产品包括10件正品，3件次品，有放回地抽取，每次一件，直到取到正品为止. 假定每件产品被取到的机会相同，求抽取次数X的分布律.

解 抽取产品为伯努里试验，设事件A={取到正品}，P(A)?p?103,q?1?p? 1313事件{X?k}表示前k?1次均取到次品，而第k次首次取到正品，则X的分布律

3k?110P{X?k}?qk?1p?(）,(k?1,2,)1313

3. 自动生产线在调整之后出现废品的概率为p，当在生产过程中出现废品时立即重新进行调整，求在两次调整之间生产的合格品数X的分布律.

解 由题设可知，自动生产线生产产品（废品与合格品）为贝努里试验，事件{X?k}表示首次出现废品之前已生产k个合格品，而生产合格品的概率为1?p，则在两次调整之间生产的合格品数X的分布律为

P{X?k}?(1?p)kp,(k?0,1,2,)

4. 将一颗骰子抛掷两次，X表示两次中得的小的点数，求X的分布律. 解 样本空间S?{(1,1),(1,2),,(1,6),(2,1),,(2,6),,(6,1),,(6,6)}

随机变量X的所有取值为1,2,3,4,5,6,X的分布律

X

1 2 3 4 5 6 pk 1197531 3636363636365. 试确定常数c，使得下列函数成为分布律： （1）P?X?k??ck,k?1,2,?,n； （2）P?X?k??c?kk!,k?0,1,2,,n,，??0. ?为常数.

解 （1）P?X?k??ck,k?1,2,,n

1

由

?ck?1 得c?n(n?1)

k?1n2（2）P?X?k??c??kk!,k?0,1,2,,n,,??0.

由

?ck！?ce??1 得c?e?

??kk?06. 设在三次独立试验中，A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率为求A在一次试验中出现的概率.

19，27解 设A在一次试验中出现的概率为p，在三次独立试验中，A出现的次数为X

b3,p).X的分布律为 则X~（kk,3P{X?k}?C3p(1?p)3?k k?0,1,2.

已知A至少出现一次的概率为

P{X?1}?1?P{X?0}?1?(1?p)3?191， p? 2737. 一大楼装有5个同类型的供水设备.调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概

率是0.1，问在同一时刻

（1） 恰有2个设备被使用的概率是多少？ （2） 至多有3个设备被使用的概率是多少？ （3） 至少有1个设备被使用的概率是多少？

解 设在同一时刻被使用设备的个数为X，则X~b（5,0.1).X的分布律为

kP{X?k}?C5(0.1)k(0.9)5?k k?0,1,?,5.

于是(1) 恰有2个设备被使用的概率为

2 P{X?2}?C5(0.1)2(0.9)3?0.0729

(2) 至多有3个设备被使用的概率是

45P{X?3}?1?P{X?4}?P{X?5}?1?C5(0.1)4(0.9)?C5(0.9)5?0.40906

(3) 至少有1个设备被使用的概率是

P{X?1}?1?P{X?0}?1?0.95?0.40951

8. 甲、乙进行投篮，投中的概率分别为0.6，0.7.今各投3次.求 （1）两人投中次数相等的概率； （2）甲比乙投中次数多的概率.

解 设各投3次甲、乙两人投中的次数分别为X、Y，则

X~（b3,0.6)、Y~（b3,0.7).

2

kk3?kk)?0,1,2,3. }?CX的分布律为 P{X?k3(0.6)(0. 4P{X?0}?0.064,P{X?1}?0.288, P{X?2}?0.432,P{X?3}?0.216,

kk3?kY的分布律为 P{Y?kk)?0,1,2,3 }?C3(0.7)(0. 3P{Y?0}?0.027,P{Y?1}?0.189, P{Y?2}?0.441,P{Y?3}?0.343,

（1）两人投中次数相等的概率为P{X?Y}??P{X?k,Y?k}?0.32076

k?03（2）甲比乙生产投中次数多的概率. P{X?Y}??P{X?k,Y?k}?0.243

k?039. 设一厂家生产的每台仪器，以概率0.70可以直接出厂，以概率0.30需进一步调试，经调试后以概率0.80可以出厂，以概率0.,20定为不合格不能出厂。现该厂新生产了n(n?2) 台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求 （1）全部能出厂的概率?；

（2）其中恰好有两件不能出厂的概率?； （3）其中至少有两件不能出厂的概率?；

解 记A=“仪器需调试”，B=“仪器能出厂”，A=“仪器能直接出厂”，

AB=“仪器经调试后能出厂”，B?A?AB，P(A)?0.3， P(BA)?0.8，

P(AB)?P(A)P(BA)?0.3?0.8?0.24 P(B)?P(A)?P(AB)?0.7?0.24?0.94

设X为所生产的n台仪器中能出厂的台数，则X作为所生产的n次独立试验成功（仪器能出厂）的次数，服从二项分布，即X（1）??P(X?n)?（0.94）

（2）??P(X?n?2)?C（）（0.06） n0.942n?22nB(n,0.94)，因此

??P{X?n?2}?1?P{X?n?1}?P{X?n}1n?1n（3）?1?C（0.94）0.06-（0.94）nn?1n?1?0.06（n0.94）-（0.94）

3

10. 有一繁忙的汽车站，在一天的某段时间内出事故的次数X服从参数为??0.1的泊松分布，问出事故的次数不少于2的概率是多少？

解

P{X?2}?1?P{X?0}?P{X?1}?1?e?0.1?0.1e?0.1?0.0047

11. 某一公安局在长度为t的时间时隔内收到的紧急呼叫次数X服从参数为分布，而与时间时隔的起点无关（时间以小时计）。

（1）求某一天中午12时至下午3时没有收到的紧急呼叫的概率： （2）求某一天中午12时至下午5时至少收到一次的紧急呼叫的概率

解

t的泊松2??t 2（1）??1.5，P{X?0}?e?1.5?0.2231

（2）??2.5，P{X?1}?1?P{X?0}?1?e?2.5?0.918

12. 实验器皿中产生甲乙两类细菌的机会是相等的，且产生的细菌数X服从参数为?的泊松分布，试求

（1）产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；

（2）在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率.

解（1）X的分布律为P{X?k}??ke??k!,k?0,1,2,，

k个细菌全部是甲类细菌的概率

??ke??1()k，所以生产了甲类细菌但没有乙类细菌的概率 k!2?k?????k?1?ke??1()?e(e2?1) k!2（2）产生了细菌而且没有甲类细菌的概率等于生产了甲类细菌但没有乙类细菌的概

率,所以在已知产生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率为

()2?22!2??? ??e??(e2?1)8(e2?1)13. 已知随机变量X的分布律为

X -2 -1 0 1 2 4

p 0.2 0.1 0.3 0.1 0.2 0.1

?2e??1 4

试求关于t的一元二次方程3t2?2Xt?(X?1)?0有实数根的概率.

解 若关于t的一元二次方程3t2?2Xt?(X?1)?0有实数根，则判别式

??4X2?12(X?1)?4(X2?3X?3)?0，X?3?213?21 或X?22t的一元二次方程3t2?2Xt?(X?1)?0有实数根的概率为

P{X?3?213?21或X?}?P{X?4,X??1,X??2}?0.4 2214. 从学校乘汽车到火车站途经3个交通岗，每个交通岗的红灯相互独立，红灯出现的

概率都为0.4，设X表示“遇到红灯的次数”，求X的分布律及分布函数. 解 设X表示“遇到红灯的次数”，易知X的分布律为

0 1 2 3 X

pk 12 0.63 C3(0.4)(0.6)2 C3(0.4)2(0.6) 0.43

即得X的分布律

0 1 2 3 X

pk 0.216 0.432 0.288 0.064

若当x?0时，则?X?x?是不可能事件，所以F(x)=0. 当0?x?1时，P?X?x??P?X?0??0.216

当1?x?2时，P?X?x??P?X?0??P?X?1??0.648

当2?x?3时，P?X?x??P?X?0??P?X?1??P?X?2??0.936 当3?x时， P?X??x?P0???PX?1?X??故随机变量X的分布函数为

???PX2???P?X3? 1?0,x?0,??0.216,0?x?1??F(x)??0.648,1?x?2，

?0.936,2?x?3?1,3?x??15. 设随机变量X服从（0-1）分布，求X的分布函数，并作出其图形

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