解 (0?1)分布的分布律写成表格形式
X pk 0 1 1?p p 若当x?0时，则?X?x?是不可能事件，所以F(x)=0. 当0?x?1时，P?X?x??P?X?0??1?p 当1?x时， P?X??x?P0???PX?1?X??故随机变量X的分布函数为
?1?0,x?0?F(x)??1?p,0?x?1
?1,1?x?16. 随机变量X的分布函数为
?0, x??1,?F(x)??a?barcsinx, ?1?x?1,
?1, x?1.?（1） 当a,b为何值时F(x)为连续函数？
（2） 当F(x)为连续函数时，求P?X???1??； 2?（3） 当X是连续型随机变量时，求X的概率密度. 解 （1）F(?1)?a?barcsin(?1)?a??2b?0
F(1)?lim(a?barcsinx)?a?barcsin1?a??x?1?2b?1
故a?11,b? 2??0, x??1,?1arcsinx?F(x)???, ?1?x?1,
??2??1, x?1.（2）当F(x)为连续函数时，
P?X?c??limP?c???X?c??lim[F(c)?F(c??)]?0 ????0??0
6
1?1?111??1P?X???P???X???F()?F(?)?
2?2?223??2（3）X是连续型随机变量时，X的概率密度.
1? -1 ?cx3, 0?x?1, f(x)???0, 其它.（1） 试确定常数c； （2） 随机变量X的分布函数； 1??（3） 求P??1?X?? 2??解 （1）由于 ?????f(x)dx??0??f(x)dx??f(x)dx?01??1f(x)dx??cx3dx?011c?1. 4所以.c?4 ?4x3, 0?x?1,故X的概率密度为f(x)?? ?0, 其它.（2）当x?0时，F(x)??当0?x?1时，F(x)?当1?x时，F(x)?x??f(t)dt?0. x0?x??f(t)dt??4t3dt?x4. 10?x??f(t)dt??4t3dt?1 ?0,x?0?4故 F(x)??x,0?x?1 ?1,1?x?111?1?32（3）P??1?X????f(x)dx??24xdx? ?10216??18. 设随机变量X的概率密度为 f(x)?1?xe,???x???. 2x求随机变量X的分布函数. 解 当x?0时，F(x)?当0?x时，F(x)??x??xf(t)dt??etdt?ex. ??0???f(t)dt??edt??e?tdt?2?e?x. ??0tx 7 ?ex,x?0，故 F(x)?? ?x?2?e,0?x19. 若?在（1，6）上服从均匀分布，求方程x2??x?1?0有实数根的概率. 解 ?在（1，6）上服从均匀分布，随机变量?的概率密度为 ?1? 1?x?6, f(x)??5??0, 其它.方程x2??x?1?0若有实数根，则判别式 ???2?4?0，??2或???2 方程x??x?1?0有实数根的概率为P{??2或???2}??26214dt? 5520. 某种型号的电子管的寿命X（以小时计）具有以下的的概率密度 ?1000, x>1000,? f(x)??x2??0, 其它 .现有一大批此种电子管（设各电子管损坏与否相互独立），任取5只，求其中至少有2只寿 命大于1500小时的概率. 解 某只电子管的寿命大于1500小时的概率为 P?X?1500?????1500f(x)dx??10002dx? 1500x23??任取5只，记寿命大于1500小时的电子管的只数为Y，Y2B(5,)，从而 3P?Y?2??1?P?Y?0??P?Y?1??0.9547 21. 某种电器元件的使用寿命X（以小时计）服从参数??2000的指数分布。 （1）任取一个这种电器元件，求能正常使用1000小时以上的概率； （2）有一个这种电器元件，求能正常使用1000小时后还能使用1000小时以上的概率. 解 X的概率密度为 x?1?2000e, x>0,? f(x)??2000 ?0, 其它 .?x1?2000f(x)dx??edx?e?0.5?0.607 10002000??（1）P?X?1000?????1000（2）PX?2000X?1000???P?X?2000,X?1000?P?X?2000? ?P?X?1000?P?X?1000? 8 1?2000?20002000edxe?1?0.5???0.5?e?0.607 ?0.5ee??x22. 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，概率密度为 x?1?5?e, x>0, f(x)??5 ?0, 其它 .?某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开，他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P?Y?1?. 解 顾客在窗口未等到服务而离开的概率为 P?X?10?????10f(x)dx????10x1?5edx?e?25 YB(5,e?2) k?2k Y的分布律P{Y?k}?C3e(1?e?2)5?k,k?0,1,2,3,4,5 P?Y?1??1?P?Y?0??1?(1?e?2)5?0.5167 23. 假设一大型设备在任何长为t时间内发生故障的次数N(t）服从参数为?t的泊松分布。 （1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布； （2）求在设备已经无故障工作8小时的情况下，再无故障运行8小时的概率?. 解 (1) 由于T是非负随机变量，可知当t?0时，F(t)?P{T?t}?0 当t?0时，事件{T?t}与{N(t)?0}等价，所以当t?0时 F(t)?P{T?t}?1?P{T?t}?1?P{N(t)?0}?1?e??t ??e??t, t?0,从而f(t)?? 0, t<0.?即T服从参数为?的指数分布。 P{T?16,T?8}P{T?16}e?16?（2）??P{T?16T?8}????8??e?8? P{T?8}P{T?8}e24. 设随机变量X~N(10,0.022),?(2.5)?0.9938,求X落在（9.95,10.05）内的概率. X?10??解 P?9.95?X?10.05??P??2.5??2.5? 0.02?? 9 ??(2.5)??(?2.5) ?2?(2.5)?1?0.9876. 25. 设随机变量X~N(?1,16). 求 （1）P?2?X?5?； （2）P?x?3?； （3）P??1?X?. 解 ?2?1X?15?1? （1）P?2?X?5??P????44? ?4X?1?? ?P?0.75??1.5?4????(1.5）-?(0.75）=0.1598 (2) P?X?3??P?X?3??P?X??3???3?1??3?1? ????1??????4??4? ?2?0.8413?0.6915?0.4672.?X?1?1?1? （3）P?X??1??1?P???44?? ?1??(0)?0.5 26. 设随机变量X~N(2,?2), 且P?2?X?4??0.3, 求概率P?X?0?. 解 X~N(2,?2), 且P?2?X?4??0.3, 2?2?2X?24?2?P?2?X?4??P?????()??(0)?0.3 ???????2?()?0.8 ?27. 已知从某批材料中任取一件时，取得的这种材料的强度X服从N(200,182). （1） 计算取得的这些材料的强度不低于170的概率； （2） 如果所用的材料要求以9900的概率保证强度不低于160，问这批材料是否 符合这个要求？ 解 (1) P?X?170??1?P?X?170? 10