（5）(A→B)∧(C→D)，(B→E)∧(D→F)，┐(E∧F)，A→C ? ┐A 证明：

(1) (A→B)∧(C→D) P (2) A→B T(1) I (3) C→D T(1) I (4) (B→E)∧(D→F) P (5) B→E T(4) I (6) D→F T(4) I (7) A→E T(2) (5) I (8) C→F T(3) (6) I (9) A→C P (10) A→F T(8) (9) I (11) A→(E∧F) T(7) (10) I (12) ┐(E∧F)→┐A T(11) E (13) ┐(E∧F) P (14) ┐A T(12) (13) I 24. 用CP规则推证上题中的（1）、（2）、（3）和（4）式。 证明：

（1）┐A∨B，C→┐B? A→┐C 证明：

(1) A P（附加前提） (2) ┐A∨B P (3) B T(1) (2) I (4) C→┐B P (5) ┐C T(3) (4) I (6) A→┐C T(1) (5) CP

（2）A→(B→C)，(C∧D)→E，┐F→(D∧┐E) ? A→(B→F) 证明：

(1) A P（附加前提） (2) A→(B→C) P (3) B→C T(1) (2) I (4) (C∧D)→E P (5) C→┐(D∧┐E) T(4) E (6) B→┐(D∧┐E) T(3)(5) I (7) ┐F→(D∧┐E) P (8) ┐(D∧┐E) →F T(7) E (9) B→F T(6)(8) I (10) A→(B→F) CP(1)(9) （3）A∨B→C∧D，D∨E→F? A→F 证明：

(1) A P（附加前提） (2) A∨B T(1) I (3) A∨B→C∧D P (4) C∧D T(2) (3) I

(5) D T(4) I (6) D∨E T(5) I (7) D∨E→F P (8) F T(6)(7) I (9) A→F CP(5)(8)

（4）A→(B∧C)，┐B∨D，(E→┐F) →┐D，B→(A∧┐E)?B→E 证明：

(1) B P（附加前提） (2) ┐B∨D P (3) D T(1) (2)I (4) (E→┐F) →┐D P (5) D→┐(E→┐F) T(4) E (6) ┐(E→┐F) T(3) (5) I (7) E∧F T(6) E (8) E T(7) I (9) B→E CP(1)(8) 25. 证明下列各式。

（1）R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→Q?┐P

Q?P （2）S→┐Q，R∨S，┐R，┐P←→

Q （3）┐(P→Q)→┐(R∨S)，(Q→P)∨┐R，R?P←→证明：

（1）R→┐Q，R∨S，S→┐Q，P→Q?┐P 证明：

(1) P P(附加前提) (2) P→Q P (3) Q T(1)(2) I (4) R→┐Q P (5) S→┐Q P (6) Q→┐R T(4) E (7) Q→┐S T(5) E (8) ┐R T(3)(6) I (9) ┐S T(3)(7) I (10) ┐R∧┐S T(8)(9) I (11) ┐( R∨S) T(10) E (12) R∨S P

(13) ┐( R∨S)∧( R∨S)(矛盾) T(12)(13) I

Q?P （2）S→┐Q，R∨S，┐R，┐P←→

证明：

(1) ┐R P (2) R∨S P (3) S T(1)(2) I (4) S→┐Q P (5) ┐Q T(3)(4) I

Q (6) ┐P← P →

(7) (┐P→Q)∧(Q→┐P) T(6) E (8) ┐P→Q T(7) I (9) ┐Q→P T(8) E (10) P T(5)(9) I

Q （3）┐(P→Q)→┐(R∨S)，(Q→P)∨┐R，R?P←→证明：

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

R (Q→P)∨┐R Q→P ┐(P→Q)→┐(R∨S) (R∨S)→(P→Q) P→Q (P→Q)∧( Q→P) Q P← →

P P

T(1)(2) I P

T(4) E T(1)(5) I T(3)(6) I T(7) E

26. 甲、乙、丙和丁四人参加考试，有人问他们，谁的成绩最好？甲说“不是我”，乙说“是丁”，丙说“是乙”，丁说“不是我”。四人的回答只有一人符合实际。问成绩最好的是哪些？若只有一人成绩最好，是谁？

解：设A：甲的成绩最好。B：乙的成绩最好。C：丙的成绩最好。D：丁的成绩最好。 因为四人的回答只有一人符合实际，所以

若甲的回答符合实际，有：(┐A∧┐D∧┐B∧D) 若乙的回答符合实际，有：(A∧D∧┐B∧D) 若丙的回答符合实际，有：(A∧┐D∧B∧D) 若丁的回答符合实际，有：(A∧┐D∧┐B∧┐D) 所以：

(┐A∧┐D∧┐B∧D)∨(A∧D∧┐B∧D)∨(A∧┐D∧B∧D)∨(A∧┐D∧┐B∧┐D) ?T 即(A∧D∧┐B)∨(A∧┐D∧┐B) ?T

但(A∧D∧┐B)∨(A∧┐D∧┐B) ?(A∧D∧┐B∧C)∨(A∧D∧┐B∧┐C)∨(A∧┐D∧┐B∧C)∨(A∧┐D∧┐B∧┐C)

(A∧D∧┐B∧C)表示甲、丙和丁三人并列成绩最好。 (A∧D∧┐B∧┐C)表示甲、丁两人并列成绩最好。 (A∧┐D∧┐B∧C)表示甲、丙两人并列成绩最好。 (A∧┐D∧┐B∧┐C)表示甲成绩最好。 若只有一人成绩最好，是甲。

27. 三人估计比赛结果，甲说“A第一，B第二”。乙说“C第二，D第四”。丙说“A第二，D第四”。结果三人估计得都不全对，但都对了一个，问A、B、C、D的名次。 解：设A：A第一。B：B第二。C：C第二。D：D第四。E：A第二。

←←←根据题意有： (A B)∧(C D)∧(E D)成立。将其化为析取范式的形式： ∣∣∣→→→

←←←(A B)∧(C D)∧(E D) ∣∣∣→→→

?(( A∧┐B)∨(┐A∧B))∧(( C∧┐D)∨(┐C∧D))∧(( E∧┐D)∨(┐E∧D))

?((A∧┐B∧C∧┐D)∨( A∧┐B∧┐C∧D)∨(┐A∧B∧C∧┐D)∨(┐A∧B∧┐C∧D)) ∧(( E∧┐D)∨(┐E∧D))

其中( A∧┐B∧┐C∧D)和(┐A∧B∧C∧┐D)不复合题意，可以从上式中删去，原式化为： ((A∧┐B∧C∧┐D)∨(┐A∧B∧┐C∧D))∧(( E∧┐D)∨(┐E∧D))

?(A∧┐B∧C∧┐D∧E∧┐D)∨(┐A∧B∧┐C∧D∧E∧┐D)∨(A∧┐B∧C∧┐D∧┐E

∧D)∨(┐A∧B∧┐C∧D∧┐E∧D)

?(A∧┐B∧C∧┐D∧E)∨(┐A∧B∧┐C∧D∧┐E)

(A∧┐B∧C∧┐D∧E)中C和E)同时成立矛盾，故只能是(┐A∧B∧┐C∧D∧┐E)成立，即B第二，D第四，A第三，C第一。

28. A，B，C，D四个人中要派两个人出差，按下述三个条件有几种派法？如何派？ （1）若A去则C和D要去一人； （2）B和C不能都去； （3）C去则D要留下。

解：设 A：A去。B：B去。C：C去。D：D去。

←则（1）可表示为：A→(C D)；（2）可表示为：┐(B∧C)；（3）可表示为：C→┐D。 ∣→←(1)(2)(3)同时成立，即A→(C D)∧┐(B∧C)∧(C→┐D)成立。将其化为析取范式的形式：∣→

←A→(C ∣ D)∧┐(B∧C)∧(C→┐D) →?(┐A∨(┐C∧D)∨(C∧┐D)) ∧(┐B∨┐C)∧(┐C∨┐D)

?(┐A∨(┐C∧D)∨(C∧┐D)) ∧((┐B∧┐C)∨(┐B∧┐D)∨┐C∨(┐C∧┐D))

?(┐A∧┐B∧┐C)∨(┐A∧┐B∧┐D)∨(┐A∧┐C)∨(┐A∧┐C∧┐D)∨(┐C∧D∧┐B∧┐C)∨(┐C∧D∧┐B∧┐D)∨(┐C∧D∧┐C)∨(┐C∧D∧┐C∧┐D)∨(C∧┐D∧┐B∧┐C)∨(C∧┐D∧┐B∧┐D)∨(C∧┐D∧┐C)∨(C∧┐D∧┐C∧┐D)

?(┐A∧┐B∧┐C)∨(┐A∧┐B∧┐D)∨(┐A∧┐C)∨(┐A∧┐C∧┐D)∨(┐B∧┐C∧D)∨(┐C∧D)∨(┐B∧C∧┐D)

上式划线的部分不符合题意，因此复合题意的有：

(┐A∧┐C)∨(┐B∧┐C∧D)∨(┐C∧D)∨(┐B∧C∧┐D)，

(┐A∧┐C)表示B和D去，(┐B∧┐C∧D) 表示A和D去，(┐C∧D)表示A和D去或B和D去，(┐B∧C∧┐D)表示A和C去。

故总共有三种派法：B和D去，A和D去或A和C去。 29. 在一个盗窃案件中，已知下列事实： （1）甲或乙是窃贼。

（2）甲是窃贼，作案时间不会发生在夜间12点以前。

（3）若乙的证词正确，则夜间12点时被盗物品所在房间灯光未灭。 （4）若乙的证词不正确，则作案时间发生在夜间12点以前。 （5）夜间12点被盗房间的灯光灭了。

判断谁是盗贼，用构造证明法写出结论的判断过程。

证明：设A：甲是窃贼。B：乙是窃贼。C：作案时间发生在夜间12点以前。D：乙的证词正确。E：夜间12点被盗房间的灯光灭了。则（1）可以表示为：A∨B。（2）可以表示为：A→┐C。（3）可以表示为：D→┐E。（4）可以表示为：┐D→C。（5）可以表示为：E。 以下是推理过程： (1) E P (2) D→┐E P (3) ┐D T(1)(2) I (4) ┐D→C P (5) C T(3)(4) I (6) A→┐C P (7) ┐A T(5)(6) I (8) A∨B P (9) B T(7)(8) I

所以B成立，即乙是窃贼。 30. 构造下面推理的证明：

（1）如果今天是星期六，我们就要到独秀峰或象鼻山去玩，如果独秀峰游人太多，我们就不去独秀峰。今天是星期六。独秀峰游人太多，所以我们去象鼻山玩。

（2）如果马会飞或羊吃草，则母鸡就会是飞鸟，如果母鸡是飞鸟，那么烤熟的鸭子还会跑。烤熟的鸭子不会跑。所以，羊不吃草。 证明：

（1）P：今天是星期六，Q：我们要到独秀峰去玩，R：我们要到象鼻山去玩，S：独秀峰游人太多。

←P→(Q R)，S→┐Q，P，S? R ∣→

（1） S

（2） S→┐Q （3） ┐Q （4） P

←（5） P→(Q R) ∣→←（6） Q R ∣→

P P

T（1），（2）I P P

T（4），（5）I

（7） ┐Q T（6）I

（8） R T（7）I

（2）P：马会飞，Q：羊吃草，R：母鸡就会是飞鸟，S：烤熟的鸭子会跑。 （P∨Q）→R，R→S，┐S?┐Q （1） ┐S P （2） R→S P （3） ┐R T（1），（2）I （4） （P∨Q）→R P （5） ┐（P∨Q） T（3），（4）I （6） ┐P∧┐Q T（5）E （7） ┐Q T（6）I

习题二

1. 用谓词表达式符号化下列命题。 （1）小王不是学生。 （2）小王聪明而又好学。 （3）小王和小张是好朋友。 （4）他是田径或球类运动员。

（5）若m是奇数，则2m不是奇数。 （6）每一个有理数都是实数。 （7）某些实数是有理数。

（8）并非每一个实数都是有理数。 （9）每一个自然数不是奇数就是偶数。 （10）不管黑猫白猫，抓住老鼠就是好猫。 （11）有会说话的机器人。

（12）有的人不吃萝卜，但人都要喝水。