（1）对任意的y?f(A∪B)有，

y?f(A∪B) ??x?A∪B∧f(x)= y??x?A∨?x?B∧f(x)= y ?(?x?A∧f(x)= y)∨(?x?B∧f(x)= y) ? y?f(A)∨y?f(B) ? y?f(A)∪f(B) （2）对任意的y?f(A∩B)有，

y?f(A∩B) ??x?A∩B∧f(x)= y??x?A∧?x?B∧f(x)= y ?(?x1?A∧f(x1)= y) ∧(?x2?B∧f(x2)= y) ? y?f(A)∧y?f(B) ? y?f(A)∩f(B)

（3）对任意的y? f(A)-f(B)有，y?f(A)∧y?f(B)。即对某个x1?A，y=f(x1)，但对任意x?B，y?f(x)。故对某个x1?A-B，y=f(x1)，即 y? f(A-B) 于是 f(A)-f(B) ? f(A-B)。

8. 设f: A→B是满射函数，且函数g: B→P(A)定义为: g(b)={x|x∈A∧f(x)=b}

证明：g是单射。其逆成立吗？若成立给出证明，否则给出例子予以说明。

证明：因为f是满射函数，则对任意b∈B，至少存在一个x∈A，使得f(x)=b，故g的定义域为B。对任意的b1，b2?B，且b1?b2， g(b1)={x|x∈A∧f(x)= b1} g(b2)={y|y∈A∧f(y)= b2}

因为b1?b2，f(x)?f(y)，而f是函数，故x?y，所以 g(b1)?g(b2) 故g是单射。 逆不成立。

例如：A={a,b,c}，B={x,y,z}，则 f: A→B，f(a)=x，f(b)=x，f(c)=y。

g: B→P(A)，g(x)={a,b}，g(y)={c}，g(z)= ?。 g是单射，但f不是满射。

9. 证明：若f: A→B，g: B→A，且gf =IA，f g =IB，则g=f-1，且f=g-1。

证明：因为gf =IA，所以gf (a1)= g(f (a1)) =a1，gf (a2)= g(f (a2)) =a2，若a1≠a2，g(f (a1))≠g(f (a2))，所以f (a1)≠f (a2)，即f:是入射。

又对任意的a?A有gf (a)= g(f (a)) =a，即存在f (a)=b?B，使得g(b) =a，因此g是满射。同理，若f g =IB，则g是入射且f是满射，故可知f和g都是双射函数。

设?f，因为?IA，而gf =IA，故必有某个c?B，使得?f且?g，由?f∧?f?b=c 因此?g。

反之，若?g，由?IB，故必有某个d?A，有?g∧?f，由?g∧?g?a=d 因此?f。

上述证明得到?f当且仅当?g，所以g=f-1且f=g-1。 10. 证明：若(gf)-1是一个函数，则f和g不一定是入射。

证明：设A={a,b,c}，B={1,2,3,4}，C={x,y,z}，f是A到B的函数，g是B到C的函数，

f={,,}，g={<1,x>,<2,x>,<3,y>,<4,z>},

则gf={,,}，(gf)-1={,,}是双射函数，但g不是入射。