2019年

答案 (－∞，)

解析 z＝(3m－2)＋(m－1)i，其对应点(3m－2，m－1)在第三象限内，故3m－2<0且m－1<0，∴m<.

9．已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m的值为________． 答案 3或6

解析 ∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1?M， ∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3， ∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3， 解得m＝6或m＝3，经检验符合题意．

10．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________． 答案

3

解析 ∵|z－2|＝＝， ∴(x－2)2＋y2＝3. 由图可知max＝＝.

11．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝________，c＝________. 答案 －2 3

解析 ∵实系数一元二次方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i，∴其共轭复数1－i也是方程的根． 由根与系数的关系知， ∴b＝－2，c＝3. 12．给出下列命题： ①若z∈C，则z2≥0；

②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i； ③若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；

2019年

④若z＝－i，则z3＋1在复平面内对应的点位于第一象限． 其中正确的命题是______．(填上所有正确命题的序号) 答案 ④

解析 由复数的概念及性质知，①错误；②错误；若a＝－1，则(a＋1)i＝0，③错误；z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1，④正确． 13．计算：(1)； (2)； (3)＋； (4).

解 (1)＝＝－1－3i. (2)＝

－3＋4i＋3－3i

2＋i

＝＝＝＋i. (3)＋＝＋1＋i

－2i ＝＋＝－1. (4)＝＝＝－i

3－i

4

＝－－i.

14．复数z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i，若1＋z2是实数，求实数解 1＋z2＝＋(a2－10)i＋＋(2a－5)i ＝＋[(a2－10)＋(2a－5)]i ＝＋(a2＋2a－15)i.

∵1＋z2是实数，∴a2＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. 又(a＋5)(a－1)≠0，∴a≠－5且a≠1，故a＝3. 15.若虚数z同时满足下列两个条件： ①z＋是实数；

②z＋3的实部与虚部互为相反数．

a的值． 2019年

这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由． 解 这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i. 设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，

z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝＋i.

5

a－bi

a2＋b2

∵z＋是实数，∴b－＝0. 又∵b≠0，∴a2＋b2＝5.①

又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数， ∴a＋3＋b＝0.②

??a＝－2，

由①②得解得或?

?b＝－1，?

故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.