燕尾定理

例题精讲

燕尾定理：

在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，那么S?ABO:S?ACO?BD:DC．

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为?ABO和?ACO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

通过一道例题证明一下燕尾定理：

如右图，D是BC上任意一点，请你说明：S1:S4?S2:S3?BD:DC

【解析】 三角形BED与三角形CED同高，分别以BD、DC为底，

所以有S1:S4?BD:DC；三角形ABE与三角形EBD同高，S1:S2?ED:EA；三角形ACE与三角形

CED同高，S4:S3?ED:EA，所以S1:S4?S2:S3；综上可得S1:S4?S2:S3?BD:DC.

【例 1】 （2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在

BC上，且BD:DC?1:2，AD与BE交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

【解析】 方法一：连接CF，

根据燕尾定理，

S△ABFBD1S△ABFAE??，??1, S△ACFDC2S△CBFEC设S△BDF?1份，则S△DCF?2份，S△ABF?3份，S△AEF?S△EFC?3份，如图所标 所以SDCEF?55S△ABC? 121211方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABD?S△ABC?，

33BFS△ABD11121??， S△ADE?S△ADC??S△ABC?，所以

FES△ADE122331111111S△DEF??S△DEB???S△BEC????S△ABC?，

223232122115而S△CDE???S△ABC?．所以则四边形DFEC的面积等于．

32312

【巩固】如图，已知BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.

【解析】 题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步

判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，

(法一)连接CF，因为BD?DC，EC?2AE，三角形ABC的面积是30，

11所以S△ABE?S△ABC?10，S△ABD?S△ABC?15．

32根据燕尾定理，

S△ABFAE1SBD??，△ABF??1, S△CBFEC2S△ACFCD1所以S△ABF?S△ABC?7.5，S△BFD?15?7.5?7.5，

4所以阴影部分面积是30?10?7.5?12.5．

1 (法二)连接DE，由题目条件可得到S△ABE?S△ABC?10，

3AFS△ABE1112??， S△BDE?S△BEC??S△ABC?10，所以

FDS△BDE1223111111 S△DEF??S△DEA???S△ADC????S△ABC?2.5，

22323221 而S△CDE???S△ABC?10．所以阴影部分的面积为12.5．

32

【巩固】如图，三角形ABC的面积是200cm2，E 在AC上，点D在BC上，且AE:EC?3:5,BD:DC?2:3，

AD与BE 交于点F．则四边形DFEC的面积等于 ．

【解析】 连接CF，

S△ABFBD26SAE36???，△ABF???, S△ACFDC39S△CBFEC510根据燕尾定理，

设S△ABF?6份，则S△ACF?9份,S△BCF?10份，S△EFC?9?所以SDCFE?200?(6?9?10)?(5453份，S△CDF?10???6份，

3?582?34545?6)?8?(?6)?93(cm2) 88

【巩固】如图，已知BD?3DC，EC?2AE，BE与CD相交于点O,则△ABC被分成的4部分面积各占△ABC

面积的几分之几？

【解析】 连接CO,设S△AEO?1份，则其他部分的面积如图所示，所以S△ABC?1?2?9?18?30份，所以四部

分按从小到大各占△ABC面积的

12?4.5139313.59,?,?,?30306030103020

11【巩固】(2007年香港圣公会数学竞赛)如图所示，在△ABC中，CP?CB，CQ?CA，BQ与AP相交于

23点X，若△ABC的面积为6，则△ABX的面积等于 ．

【解析】 方法一：连接PQ．

11211由于CP?CB，CQ?CA，所以SVABQ?SVABC，SVBPQ?SVBCQ?SVABC．

2332621由蝴蝶定理知，AX:XP?SVABQ:SVBPQ?SVABC:SVABC?4:1，

3644122所以SVABX?SVABP??SVABC?SVABC??6?2.4．

55255方法二：连接CX设S△CPX?1份，根据燕尾定理标出其他部分面积， 所以S△ABX?6?(1?1?4?4)?4?2.4

【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，BD?2DC，CE?2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分

的面积各是多少?

【解析】 连接CF，设S△AEF?1份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以

S△AEF?16282?42,S△ABF??,S△BDF?,SFDCE?? 2121721217

【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且AE:EC?2:3,BD:DC?1:2，AD与BE交于点F．四边形DFEC的面积等于22cm2，则三角形ABC的面积 ．

【解析】 连接CF,根据燕尾定理，

S△ABFBD1S△ABFAE2??，??, S△ACFDC2S△CBFEC3设S△BDF?1份，则S△DCF?2份，S△ABF?2份，S△AFC?4份，S△AEF?4?份,S△EFC?4?2?1.6 2?33?2.4份,如图所标,所以SEFDC?2?2.4?4.4份,S△ABC?2?3?4?9份 2?3所以S△ABC?22?4.4?9?45(cm2)