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更高阶的连续性，这时构造函数比较困难。在某些情况下，可以放松对协调性的要求，只要这种单元能通过分片试验，有限元解仍然可以收敛于正确的解答。这种单元称为非协调单元。 2.4.3 位移解的下限性质

以位移为基本未知量，并基于最小位能原理建立的有限元称为位移元。通过系统总位能的变分过程，可以分析位移元的近似解与精确解偏离的下限性质。

系统总位能的离散形式为

1?p??TK???TP （2.4.4）

2由变分??p?0得到有限元求解方程

K??P （2.4.5）

将（2.4.5）式代入（2.4.4）

11?p??TK???TK????TK???U （2.4.6）

22在平衡情况下，系统总位能等于负的应变能。因此，当?p??pmin，则

U?Umax。在有限元解中，由于假定的近似位移模式一般来说总是与精确解有差别，因此得到的系统总位能总会比真正的位能大。我们将有限元解的总位能、

~~~~应变能、刚度矩阵和结点位移分别用?p,U,K,?表示，相应的精确解的有关量用

~~?p,U,K,?表示。由于?p??p，则有U?U，即

~TK?~??TK? （2.4.7）? ~对于精确解有 K??P

~~?P （2.4.8）对于近似解有 K?

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将（2.4.8）式代入（2.4.7）式得到

~TP??TP （2.4.9）?

由（2.4.9）式看出，近似解应变能小于精确解应变能的原因是近似解的位

~总体上要小于精确解的位移?。移?故位移元得到的位移解总体上不大于精确解，即解具有下限性质。

3 等参元和数值积分

用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。等参元是目前应用最广的一类单元可用这类单元更精确的描述不规则的边界。这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元(参考单元/标准单元)，在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。变换涉及两个方面：几何图形的变换(坐标变换)和位移场函数的变换(母单元的位移模式)。由于两种变换均采用了相同的函数关系(形函数)和同一组结点参数，故称其为等参变换。

等参元在有限元法的发展中占有重要位置，由于他能是局部坐标系内的形状规则的单元变换为总体坐标系内形状为扭曲的单元，从而为求解域是任意形状的实际问题求解提供了有效的单元形式。两种坐标系内坐标的变换通常采用和位移函数相同的插值形式，依据坐标变换插值点数和位移插值点数的比较，分别称之为等参元、超参元和次参元。通常应用最多的是两者插值点数相同的等参元。

等参元的表达格式和广义坐标有限元表达格式原则上是一致的。在单元特性矩阵形成时，为了使等参元的特性矩阵在规范化的局部坐标系内进行，必须进行

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总体坐标系内和局部坐标系内的导数、面积、体积、长度等的变换以及积分限的变换。同时为了保证上述变换能够进行，必须保证等参变换能够实现，其基本点是要保证单元的形状不过分扭曲，这在实际应用中应给与足够注意。

经过以上探讨和学习，对有限元基础的理论做了以下理解和总结： 1. 等效积分形式可以通过分部积分得到它的“弱”形式，利用提高权函数的连续性要求来降低待求场函数的连续性要求，从而可以更广泛的选择试探函数。有限元法经常利用为理论基础的正是等效积分的伽辽金“弱”形式，这样不仅降低了对试探函数连续性的要求，而且还可以得到系数矩阵对称的求解方程，从而给计算分析带来很大的方便。

2. 将物理方程引入虚位移原理和虚应力原理可以分别导出最小位能原理和最小余能原理，它们本质上和等效积分的伽辽金“弱”形式相一致。这是建立弹性力学有限元方程的理论基础。

3. 以弹性力学静力分析问题为例，学习了通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元方法表达格式的基本步骤。最小位能原理的未知场变量是位移，以结点位移为基本未知量，并以最小位能原理为基础建立了位移元。

4. 以平面问题3结点三角形单元为典型，学习了如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法和步骤，并进而引出弹性力学问题有限元方法的一般表达格式。

5. 为了将常用单元及其插值函数的构造用于实际工程问题和物理问题分析，需要将规则形状的单元转化为其边界为曲线曲面的相应单元。有限元法中普遍采用等参变换，即单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换。

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