生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。

－－泰戈尔

导数题型分析及解题方法

一、考试内容

导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数； 两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值。 二、热点题型分析

题型一：利用导数研究函数的极值、最值。

32f(x)?x?3x?2在区间??1,1?上的最大值是 2 1．

22．已知函数y?f(x)?x(x?c)在x?2处有极大值，则常数c＝ 6 ；

33．函数y?1?3x?x有极小值 －1 ,极大值 3

题型二：利用导数几何意义求切线方程

3??1,?3?处的切线方程是 y?x?2 y?4x?x1．曲线在点

42．若曲线f(x)?x?x在P点处的切线平行于直线3x?y?0，则P点的坐标为 （1，0）

4y?x3．若曲线的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为 4x?y?3?0

4．求下列直线的方程：

322 （1）曲线y?x?x?1在P(-1,1)处的切线； （2）曲线y?x过点P(3,5)的切线；

32 ?y/?3x2?2x ?k?y/|x?－1?3－2?1 解：（1）?点P(?1,1)在曲线y?x?x?1上，

， 即x?y?2?0 所以切线方程为y?1?x?1 / （2）显然点P（3，5）不在曲线上，所以可设切点为A(x0,y0)，则y0?x0①又函数的导数为y?2x，

2所以过

2x0?A(x0,y0)点的切线的斜率为

k?y/|x?x0?2x0，又切线过A(x0,y0)、P(3,5)点，所以有

y0?5x0?3?x0?1?x0?5?y?1 或 ?y?25?0②，由①②联立方程组得，?0，即切点为（1，1）时，切线斜率为

k1?2x0?2;；当切点为（5，25）时，切线斜率为k2?2x0?10；所以所求的切线有两条，方程分

即y?2x?1 或y?10x?25 别为y?1?2(x?1)或y?25?10(x?5)，

题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值

32f(x)?x?ax?bx?c,过曲线y?f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为y=3x+1 1．已知函数

（Ⅰ）若函数f(x)在x??2处有极值，求f(x)的表达式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数y?f(x)在[－3，1]上的最大值； （Ⅲ）若函数y?f(x)在区间[－2，1]上单调递增，求实数b的取值范围

322?解：（1）由f(x)?x?ax?bx?c,求导数得f(x)?3x?2ax?b.

过y?f(x)上点P(1,f(1))的切线方程为：

y?f(1)?f?(1)(x?1),即y?(a?b?c?1)?(3?2a?b)(x?1).

而过y?f(x)上P[1,f(1)]的切线方程为y?3x?1.

?3?2a?b?3?故?a?c??3?2a?b?0即??a?c??3

① ②

?∵y?f(x)在x??2时有极值,故f(?2)?0,??4a?b??12 ③

32由①②③得 a=2，b=－4，c=5 ∴f(x)?x?2x?4x?5.

?(x)?3x2?4x?4?(3x?2)(x?2).f（2）

2?3?x??2时,f?(x)?0;当?2?x?时,f?(x)?0;3当

2当?x?1时,f?(x)?0.?f(x)极大?f(?2)?133 又f(1)?4,?f(x)在[－3，1]上最大值是13。

?(x)?3x2?2ax?b,f（3）y=f(x)在[－2，1]上单调递增，又由①知2a+b=0。

2??依题意f(x)在[－2，1]上恒有f(x)≥0，即3x?bx?b?0.

x?①当

b?1时,f?(x)min?f?(1)?3?b?b?0,?b?66；

x?②当

b??2时,f?(x)min?f?(?2)?12?2b?b?0,?b??6；

612b?b2?2??1时,f?(x)min??0,则0?b?6.b12③当

综上所述，参数b的取值范围是[0,??)

322．已知三次函数f(x)?x?ax?bx?c在x?1和x??1时取极值，且f(?2)??4．

(1) 求函数y?f(x)的表达式； (2) 求函数y?f(x)的单调区间和极值；

(3) 若函数g(x)?f(x?m)?4m(m?0)在区间[m?3,n]上的值域为[?4,16]，试求m、n应满足的条件．

?(x)?3x2?2ax?bf解：(1) ，

2由题意得，1,?1是3x?2ax?b?0的两个根，解得，a?0,b??3．

3再由f(?2)??4可得c??2．∴f(x)?x?3x?2．

?(x)?3x2?3?3(x?1)(x?1)f(2) ，

??当x??1时，f(x)?0；当x??1时，f(x)?0； ??当?1?x?1时，f(x)?0；当x?1时，f(x)?0；

?当x?1时，f(x)?0．∴函数f(x)在区间(??,?1]上是增函数； ]上是减函数；在区间[1,??)上是增函数． 在区间[?1,１函数f(x)的极大值是f(?1)?0，极小值是f(1)??4．

(3) 函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的， 所以，函数f(x)在区间[?3,n?m]上的值域为[?4?4m,16?4m]（m?0）． 而f(?3)??20，∴?4?4m??20，即m?4．

于是，函数f(x)在区间[?3,n?4]上的值域为[?20,0]． 令f(x)?0得x??1或x?2．由f(x)的单调性知，?1剟n?42，即3剟n6．