第六章 线性空间自测题

一、选择题

1． 设M是R上全体n阶矩阵的集合，定义?(A)=|A|,A∈M，则?是M到R的一个（ ）.

A．单射 B．满射 C．双射 D．既非单射也非满射 2．把复数域C看成R上的线性空间，这个空间的维数是（ ）. A．一维 B．二维 C． 三维 D．无限维

3．R是复数域，P是任一数域，则集合R∩P对于通常的数的加法与乘法是（ ）. A．C上的线性空间 B．R上的线性空间 C．Q上的线性空间 D．不构成线性空间 4．已知P2的两组基：?1?(a1,a2)

?2??b1,b2?与?1??c1,c2?，?2??d1,d2?,

则由基?1、?2到基?1、?2的过渡矩阵为（ ）.

?a1A． ??a?2?a1C． ??b?1b1??b2???1?c1??c?2?c1??d?1d1??c1?? B．?cd2???2c2??c1?? D．??dd2??1d1??d2??c2??d2???1?a1??a?2?a1??b?1b1?? b2??a2?? ?b2?a2??b2???1?15．全体正实数集集合R+中，加法与数乘定义为：a⊕b=ab, k。a=ak，其中a、b∈ R+，

k∈R，则R+构成R上的线性空间，它的维数与基为（ ）. A．维数=0，没有基 B．维数=1，1是基 C．维数=1，2是基 D．维数=2，3、5是基

6. 按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P上线性空间的是（ ）. A．W1?A?Pn?nA??A B．W2?A?Pn?nC．W3?A?P???A为上三角形矩阵?

?n?nA?0 D．W4??A?Pn?nA???A?

,?n?V，且V中任意向量可由

?7. 数域P上线性空间V的维数为r，?1,?2,?1,?2,,?n线性表出，则下列结论成立的是（ ）.

A．r?n B．r?n C．r?n D．r?n 8. 设W1?P[x]3,W2?P[x]4，则dim(W1?W2)?（ ）. A．2 B．3 C．4 D．5

9. 已知W?(a,2a,3a)a?R在R上构成线性空间，则W的基为（ ）. A．(1,2,3) B．(a,a,a) C．(a,2a,3a) D．(1,0,0)(0,2,0)(0,0,3) 10. 若W1,W2均为线性空间V的子空间，则下列等式成立的是（ ）. A．W1?(W1?W2)?W1?W2 B．W1?(W1?W2)?W1?W2 C．W1?(W1?W2)?W1 D．W1?(W1?W2)?W2

??11．已知??(x1,x2,x3)?，下列集合中是R3的子空间的为（ ）.

A．

??x3 ??x1?2x2?3x3?0? C．?0? B．??x3?1? D．??x1?2x2?3x3?1?

12．下列集合有（ ）个是Rn的子空间. w1?{(x1,x2, w2?{(x1,x2, w3?{(a,b,a,b, w4?{(x1,x2,xn)|xi?R,x1?x2?xn)|xi?R,x1?x2?,a,b)|a,b?R}； xn)|xi为整数}；

?xn?0}； ?xn}；

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个 13. 设?1,?2,?3与?1,?2,?3都是三维向量空间V的基，且

?1?则矩阵P??1?1??1,?2??1??2,?3??1??2??3，

?0?到（ ）的过渡矩阵.

1001??1?是由基?1,?2,?31??A．?2,?1,?3 B．?1,?2,?3 C．?2,?3,?1 D．?3,?2,?1

二、判断题

1．设V是n维线性空间， ?1，?2，，?n?V，且V中的每一个向量均可由它们线性表示，则?1，?2，，?n是V的一组基. （ √ ）

2．?1?（1，1，1），?2=（1，-1，1），?3=（-1，1，1）是三维空间R3的一组基.（ √ ） 3．若V1,V2为有限维线性空间V的子空间，则V1?V2也是V的子空间. （ × ） 4．设?1，?2，?3，?4是线性空间V的一组线性无关向量，则

L（?1，?2，?3，?4）=L（?1，?2）⊕ L（?3，?4）. （ √ ） 5．设V1、V2、V3是线性空间V的三个子空间，且V1∩V2=?0?，V2∩V3=?0?，V1∩V3=?0?，则和V1+V2+V3是直和. （ × ） 6. R中的子集?(a1,0,...，0,an)a1,an?Rn?为子空间. （ √ ）

7. R中的子集?(a1,a2,...,an)n?ai?1ni?1，ai?R?为子空间. （ × ）

8. R中的子集?(a1,a2,...,an)n?ai?1ni?0?为子空间. （ √ ）

9. R3的向量?1?(3,1,4),?2?(2,5,?1),?3?(4,?3,7)线性相关. （ × ） 10. R3的向量?1?(1,?2,3),?2?(2,1,0),?3?(1,?7,9)线性相关. （ √ ） 11. R3的向量?1?(1,0,0),?2?(1,1,0),?3?(1,1,1)的线性相关. （ × ） 12. 设W1,W2是线性空间V的两个子空间，那么它们的和W1+W2也是V的一个子空间.（√ ）

13. 设W1,W2是线性空间V的两个子空间，那么它们的交W1（√）

14. 设W1,W2都是数域P上的线性空间V的有限维子空间，那么W1?W2也是有限维的，并且dim(W1?W2)?dim(W1)?dim(W2)?dim(W1W2). （ √ ）

W2也是V的一个子空间.

三、填空题

是一双射,则??-1= . 1．设 ?:M?M?2．设V是三维线性空间，则V的二维子空间有 无数 个.

3．设有P2的一组基?1??1,?2?,?2??0,1?，则向量?=（a，b）在这组基下的坐标为 .

4. ?1?（1，2，3），?2=（3，-1，2），?3=（2，3，x）, 则x= 5 时，?1、?2、?3线性相关.

5．向量组?1?（1，0，0），?2=（0，1，0），?3=（3，-1，0）的极大无关组是 . 6. 向量空间V的基?1,?2，，?n到基?n,?n?1,,?1,的过渡矩阵为 .

7. 复数域C1作为实数域R上的向量空间，则dimC= ,它的一个基为 . 复数域C作为复数域C上的向量空间，则dimC? ,它的一个基为 . 8. 设{?1,?2,,?n}是向量空间V的一个基，由该基到{?2,,?n,?1}的过渡矩阵为

.

9. 设V与W都是P上的两个有限维线性空间，则V?W? . 10. 数域P上任一n维向量空间都与P .（不同构，同构）

11. 任一有限维的向量空间的基是 的，但任两个基所含向量个数是 . 12. 令S是数域P上一切满足条件A??A的n阶矩阵A所成的线性空间，则

dimS= .

n