题8图 题9图

9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

（x，y）=??e?yf,0?x?y,?0,其他.

求边缘概率密度. 【解】fX(x)??????f(x,y)dy

????y?x =???xedy??e,x?0,?? ?0,?0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx

?y?y?x =???0edx??ye,y?0,?? ?0,?0,其他.

题10图

10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??cx2y,x2?y?1,0,

?其他.（1） 试确定常数c；

（2） 求边缘概率密度. 【解】（1）

??????????f(x,y)dxdy如图??f(x,y)dxdy

D =?1124-1dx?x2cxydy?21c?1. 得

c?214. (2) f???X(x)???f(x,y)dy

5

? ????1212?212??x4x2xydy?x(1),?1?x?1,?4?8 ?0,??0,其他.fY(y)??????f(x,y)dx

?????y212?75?y?4xydx???2y2,0?y?1, ?0,??0, 其他.11.设随机变量（X，Y）的概率密度为

f（x，y）=??1,y?x,0?x?1,?0,其他.

求条件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）.

题11图

【解】fX(x)??????f(x,y)dy

? ??x???x1dy?2x,0?x?1,

??0,其他.?1???y1dx?1?y,?1?y?0,f??f(x,y)dx???Y(y)??????11dx?1?y,0?y?1,?y?其他?0,.?所以

ff(x,y)??1,|y|?x?1,Y|X(y|x)?f(x)?? ?2xX?0,其他. 6

?1?1?y, y?x?1,?f(x,y)?1??,?y?x?1, fX|Y(x|y)?fY(y)?1?y?0,其他.??12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大

的号码为Y.

（1） 求X与Y的联合概率分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1） X与Y的联合分布律如下表 X Y 3 4 5 P{X?xi} 1 11? 3C5100 22? 3C51011? C31050 33? 3C51022? C310511? 2C5106 103 101 10 2 3 0 P{Y?yi} 1 103 106 10(2) 因P{X?1}P{Y?3}?6161????P{X?1,Y?3}, 101010010故X与Y不独立

13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为 Y 0.4 0.8 X 2 5 8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求关于X和关于Y的边缘分布； （2） X与Y是否相互独立？ 【解】（1）X和Y的边缘分布如下表 Y X 2 0.15 0.05 0.2 5 0.30 0.12 0.42 8 0.35 0.03 0.38 P{Y=yi} 0.8 0.2 0.4 0.8 P{X?xi} 7

(2) 因P{X?2}P{Y?0.4}?0.2?0.8?0.16?0.15?P(X?2,Y?0.4), 故X与Y不独立

14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为

1??e?y/2,fY（y）=?2??0,y?0,其他.

（1）求X和Y的联合概率密度；

（2） 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率.

y?1?2?1,0?x?1,?e,y?1,【解】（1） 因fX(x)??? fY(y)???2

?0,其他;?0,其他.??1?y/2?e故f(x,y)X,Y独立fX(x)fY(y)??2??0,0?x?1,y?0,其他.

题14图

(2) 方程a?2Xa?Y?0有实根的条件是

2??(2X)2?4Y?0

故 X2≥Y，

从而方程有实根的概率为：

P{X2?Y}?x2?y??f(x,y)dxdy

1?y/2edy002 ?1?2?[?(1)??(0)]

?0.1445.??dx?1x215.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服

从同一分布，其概率密度为

?1000?,x?1000,f（x）=?x2

?其他.?0, 8