求Z=X/Y的概率密度.

【解】如图,Z的分布函数FXZ(z)?P{Z?z}?P{Y?z} (1) 当z≤0时，FZ(z)?0

（2） 当0

1000z）(如图a) F106Z(z)???x2y2dxdy????yz106103dyz?103x2y2dx y?xz =????103 106?z103?2?3z?yzy??dy?2

题15图

(3) 当z≥1时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）

6FZ(z)???10??zy106y?xx2y2dxdy??103dy?103x2y2dx z =????103106?1103??y2?zy3??dy?1?2z

??1?12z,z?1,?即 f?zZ(z)??,0?z?1,

?2?其他?0,.???12z2,z?1,?故 f?1Z(z)??,0?z?1,

?2?其他?0,.?16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160，202）分布.随机地选取4 求其中没有一只寿命小于180h的概率.

只，

9

【解】设这四只寿命为Xi(i=1,2,3,4)，则Xi~N（160，202），

从而

P{min(X1,X2,X3,X4)?180}Xi之间独立P{X1?180}P{X2?180}

P{X3?180}P{X4?180}

[P1X ?[1?P{X1?180}]?2{?180?}P][X1?{341?8P0}X][1? {4180}]??180?160???[1?P{X1?180}]4??1????? 20?????[1??(1)]4?(0.158)4?0.00063.17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为

P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…， P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….

证明随机变量Z=X+Y的分布律为

P{Z=i}=

?p(k)q(i?k)，i=0，1，2，….

k?0i【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，

所以 {Z?i}?{X?Y?i}

?{X?0,Y?i}{X?1,Y?i?1}于是

{X?i,Y?0}

P{Z?i}??P{X?k,Y?i?k}X,Y相互独立?P{X?k}P{Y?i?k}

k?0ik?0ii ??p(k)q(i?k)

k?018.设X，Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n，p的二项分布.证明Z=X+Y服从参

数为2n，p的二项分布.

【证明】方法一：X+Y可能取值为0，1，2，…，2n.

P{X?Y?k}??P{X?i,Y?k?i}

i?0k 10

??P(X?i)P{Y?k?i}i?0kk?n??n?k?in?k?i????piqn?i??pqi?0?i??k?i?

k?n??n?k2n?k??????pqi?0?i??k?i??2n?k2n?k???pq?k?方法二：设μ1,μ2,…,μn;μ1′,μ2′,…，μn′均服从两点分布（参数为p），则

X=μ1+μ2+…+μn，Y=μ1′+μ2′+…+μn′, X+Y=μ1+μ2+…+μn+μ1′+μ2′+…+μn′,

所以，X+Y服从参数为（2n,p)的二项分布. 19.设随机变量（X，Y）的分布律为 Y 0 1 2 3 X 0 1 2 3 4 5 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； （2） 求V=max（X，Y）的分布律； （3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律. 【解】（1）P{X?2|Y?2}?P{X?2,Y?2}

P{Y?2} ?P{X?2,Y?2}?P{X?i,Y?2}i?05?0.051?, 0.252P{Y?3|X?0}?P{Y?3,X?0}

P{X?0}P{X?0,Y?3}?0.011?; 0.033 ??P{X?0,Y?j}j?03（2）P{V?i}?P{max(X,Y)?i}P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}

??P{X?i,Y?k}??P{X?k,Y?i}, i?0,1,2,3, 4,k?0k?0i?1i 11

所以V的分布律为 V=max(X,Y) 0 P

(3) P{U?i}?P{min(X,Y)?i}

0 1 0.04 2 0.16 3 0.28 4 0.24 5 0.28 ?P{X?i,Y?i}?P{X?i,Y?i}

??P{X?i,Y?k}?k?i3k?i?1?5P{X?k,Y?i} i?0,1,2, 3于是 U=min(X,Y) P W=X+Y 0 P 0 0 0.28 (4)类似上述过程，有 1 0.02 2 0.06 3 0.13 4 0.19 5 0.24 6 0.19 7 0.12 8 0.05 1 0.30 2 0.25 3 0.17 20.雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X，Y）在屏幕上服从均匀分布. （1） 求P{Y＞0｜Y＞X}；

（2） 设M=max{X，Y}，求P{M＞0}.

题20图

【解】因（X，Y）的联合概率密度为

?1222?2,x?y?R, f(x,y)??πR?其他.?0,（1）P{Y?0|Y?X}?P{Y?0,Y?X}

P{Y?X} ?y?0y?x??f(x,y)d???f(x,y)d?π

y?x1?π/40πR2rdr ?5

πR1?π4/4d??0πR2rdrd??R 12