微分几何主要习题解答
§1曲面的概念
?1.求正螺面r={ ucosv ,u sinv, bv }的坐标曲线.
?解 u-曲线为r={ucosv0 ,u sinv0,bv0 }=｛0,0，bv0｝＋u {cosv0,sinv0,0}，?为曲线的直母线；v-曲线为r={u0cosv,u0sinv,bv }为圆柱螺线．
?２．证明双曲抛物面r＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。
?证 u-曲线为r={ a（u+v0）, b（u-v0）,2uv0}={ av0, bv0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ av0, bv0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;
? v-曲线为r=｛a（u0+v）, b（u0-v）,2u0v｝=｛au0, bu0,0｝+v{a,-b,2u0}表示过点(au0, bu0,0)以{a,-b,2u0}为方向向量的直线。
?3．求球面r={acos?sin?,acos?sin?,asin?}上任意点的切平面和法线方程。
??解 r?={?asin?cos?,?asin?sin?,acos?} ，r?={?acos?sin?,acos?cos?,0}
x?acos?cos?y?acos?sin??asin?sin?acos?cos?z?asin?acos?0?0
任意点的切平面方程为?asin?cos??acos?sin?即 xcos?cos? + ycos?sin? + zsin? - a = 0 ；
23
微分几何主要习题解答
法线方程为
x?acos?cos?y?acos?sin?z?asin? 。 ??cos?cos?cos?sin?sin?x2y24．求椭圆柱面2?2?1在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此
ab曲面只有一个切平面 。
x2y2解 椭圆柱面2?2?1的参数方程为x = cos?, y = asin?, z = t ,
ab??r??{?asin?,bcos?,0} , rt?{0,0,1} 。所以切平面方程为：
x?acos??asin?0y?bsin?bcos?0z?t0?0，即x bcos? + y asin? － a b = 0 1此方程与t无关，对于?的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而?的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。
?a35．证明曲面r?{u,v,}的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常
uv数。
??a3a3xyuv证 ru?{1,0,?2}，rv?{0,1,?2}。切平面方程为：??3z?3 。
uvauvuv3a2与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,)。于是，四面体的体积为：
uv13a393V?3|u|3|v|?a是常数。
6|uv|2
§２ 曲面的第一基本形式
?1. 求双曲抛物面r＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的第一基本形式.
???解 ru?{a,b,2v},rv?{a,?b,2u},E?ru2?a2?b2?4v2,
24
微分几何主要习题解答
??? F?ru?rv?a2?b2?4uv,G?rv2?a2?b2?4u2,
∴ 错误！未找到引用源。 =
(a2?b2?4v2)du2?2(a2?b2?4uv)dudv?(a2?b2?4u2)dv2。
?２．求正螺面r={ ucosv ,u sinv, bv }的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直。
?????解 ru?{cosv,sinv,0},rv?{?usinv,ucosv,b}，E?ru2?1，F?ru?rv?0，?G?rv2?u2?b2，∴ 错误！未找到引用源。 =du2?(u2?b2)dv2，∵Ｆ＝０，∴
坐标曲线互相垂直。
３．在第一基本形式为错误！未找到引用源。 =du2?sinh2udv2的曲面上，求方程为u = v的曲线的弧长。
解 由条件ds2?du2?sinh2udv2,沿曲线u = v有du=dv ，将其代入ds2得
ds2?du2?sinh2udv2=cosh2vdv2，ds = coshvdv , 在曲线u = v上，从v1到v2的
弧长为|?coshvdv|?|sinhv2?sinhv1|。
v1v24．设曲面的第一基本形式为错误！未找到引用源。 = du2?(u2?a2)dv2，求它上面两条曲线u + v = 0 ,u–v = 0的交角。
分析 由于曲面上曲线的交角是曲线的内蕴量，即等距不变量，而求等距不变量只须知道曲面的第一基本形式，不需知道曲线的方程。
解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一类基本量E?1，Fv?0，G?u2?a2，曲线u + v = 0与u – v = 0的交点为u = 0, v = 0,交点处的第一类基本量为E?1，
Fv?0，G?a2。曲线u + v = 0的方向为du = -dv , u – v = 0的方向为δu=
δv , 设两曲线的夹角为?，则有
Edu?u?Gdv?uEdu2?Gdv21?a2? 。 2221?aE?u?G?vcos?=
5．求曲面z = axy上坐标曲线x = x0 ,y =y0的交角.
25
微分几何主要习题解答
?解 曲面的向量表示为r={x,y,axy}, 坐标曲线x = x0的向量表示为
???x0,y,ax0y } ，其切向量ry={0，1，ax0}；坐标曲线y =y0的向量表示为r={x , r={
?y0,axy0}，其切向量rx={1，0，ay0}，设两曲线x = x0与y =y0的夹角为?，则??rx?rya2x0y0有cos? = ???
2222|rx||ry|1?ax01?ay06. 求u-曲线和v-曲线的正交轨线的方程.
解 对于u-曲线dv = 0,设其正交轨线的方向为δu:δv ,则有
Eduδu + F(duδv + dvδu)+ G d vδv = 0,将dv =0代入并消去du得u-曲线的
正交轨线的微分方程为Eδu + Fδv = 0 .
同理可得v-曲线的正交轨线的微分方程为Fδu + Gδv = 0 .
7. 在曲面上一点,含du ,dv的二次方程Pdu2+ 2Q dudv + Rdv2＝０，确定两个切方向（du ：dv）和（δu ：δv），证明这两个方向垂直的充要条件是ER-2FQ + GP=0.
证明 因为du,dv不同时为零，假定dv?0，则所给二次方程可写成为P(2Q
du2)+ dv2Qdudu?udu?uRdu?u+ R=0 ,设其二根,, 则=，+=?……错误！未找到dvdv?vdv?vPdv?vPdu?udu?u引用源。又根据二方向垂直的条件知E + F(+)+ G = 0 ……错误！
dv?vdv?v未找到引用源。
将错误！未找到引用源。代入错误！未找到引用源。则得 ER - 2FQ + GP = 0 .
8. 证明曲面的坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.
证 用分别用δ、d表示沿u－曲线，v－曲线及其二等分角线的微分符号，??、即沿u－曲线δu?０，δv＝０，沿v－曲线??u＝０，??v?０．沿二等分角轨线方向为du:dv ,根据题设条件,又交角公式得
(Edu?v?Fdv?u)2(Fdu??v?Gdv??v)2(Edu?Fdv)2(Fdu?Gdv)2??，即。 22?22EGE?udsG?vds 26
微分几何主要习题解答
展开并化简得E(EG-F2)du2=G(EG-F2)dv2,而EG-F2>0，消去EG-F2得坐标曲线的二等分角线的微分方程为Edu2=Gdv2.
9．设曲面的第一基本形式为错误！未找到引用源。 = du2?(u2?a2)dv2，求曲面上三条曲线u = ?av, v =1相交所成的三角形的面积。 解 三曲线在平面上的图形（如图）所示。曲线围城的三角形的面积是
0221a221u u=av V=1 o v u=-av S=?u?adu?dv??u?adu?dv
?a?ua0uau =2?u2?a2du?dv=2?(1?)u2?a2du
au00aa1a2a=[?(u2?a2)2?uu2?a2?a2ln(u?u2?a2)]|0
3a3=a2[2?2?ln(1?2)] 。 3?10．求球面r={acos?sin?,acos?sin?,asin?}的面积。
??解 r?={?asin?cos?,?asin?sin?,acos?} ，r?={?acos?sin?,acos?cos?,0}
???E =r?2=a2,F=r?r?= 0 , G = r?2 =a2cos2? .球面的面积为：
??2?422??S = ?2?d??acos?d??2?a20?2??2cos?d??2?asin?|2??4?a2.
?22?? 11.证明螺面r={ucosv,usinv,u+v}和旋转曲面r={tcos?,tsin?,t2?1} (t>1, 0
27