微分几何主要习题解答
分析 根据等距对应的充分条件,要证以上两曲面可建立等距映射? = arctgu + v , t=u2?1,可在一个曲面譬如在旋转曲面上作一参数变换使两曲面在对应点有相同的参数,然后证明在新的参数下,两曲面具有相同的第一基本形式.
证明 螺面的第一基本形式为错误！未找到引用源。=2du2+2 dudv+(u2+1)dv2,
t2)dt2?t2d? ,在旋转旋转曲面的第一基本形式为错误！未找到引用源。=(1?2t?1曲面上作一参数变换? =arctgu + v , t =u2?1 , 则其第一基本形式为:
u2?1u21222(1?)du?(u?1)(du?dv) 222uu?11?uu2?11222222du?2dudv?(u?1)dv=(2?1)du2?=2+2 dudv+(+1)= 错duudv2u1?u误！未找到引用源。 .
所以螺面和旋转曲面之间可建立等距映射 ? =arctgu + v , t =u2?1 .
§3曲面的第二基本形式
?1. 计算悬链面r={coshucosv,coshusinv,u}的第一基本形式,第二基本形式.
??解 ru={sinhucosv,sinhusinv,1},rv={-coshusinv,coshucosv,0} ??ruu={coshucosv,coshusinv,0},ruv={-sinhusinv,sinhucosv,0},
?????rvv={-coshucosv,-coshusinv,0},E?ru2= cosh2u,F?ru?rv=0,G?rv2=cosh2u.
所以错误！未找到引用源。 = cosh2udu2+ cosh2udv2 .
?n=
??ru?rvEG?F2=
1{?coshucosv,?coshusinv,sinhusinv}, 2coshu 28
微分几何主要习题解答
L=?coshusinh?12??1, M=0, N=
coshusinh?12=1 .
所以错误！未找到引用源。 = -du2+dv2 。
22. 计算抛物面在原点的2x3?5x12?4x1x2?2x2第一基本形式,第二基本形式.
?52解 曲面的向量表示为r?{x1,x2,x12?2x1x2?x2},
2???rx1?{1,0,5x1?2x2}(0,0)?{1,0,0},rx2?{0,1,2x1?2x2}(0,0)?{0,1,0},rx1x1?{0,0,5}, ??rx1x2?{0,0,2} ,rx2x2?{0,0,2}, E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 ,
22错误！未找到引用源。=dx12?dx2, 错误！未找到引用源。=5dx12?4dx1dx2?2dx2.
?3. 证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv},-∞ ???解 ru?{cosv,sinv,0},rv?{?usinv,ucosv,b}，ruu={0,0,0}, ?????ruv={-uucosv,cosv,0},rvv={-ucosv,-usinv,0},E?ru2?1，F?ru?rv?0，?G?rv2?u2?b2， L= 0, M = ?bu?b22 , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 . 4. 求出抛物面z?1(ax2?by2)在(0,0)点沿方向(dx:dy)的法曲率. 2????解 rx?{1,0,ax}(0,0)?{1,0,0},ry?{0,1,by}(0,0)?{0,1,0},rxx?{0,0,a},rxy?{0,0,0} adx2?bdy2?ryy?{0,0,b},E=1,F=0,G=1,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率kn?. 22dx?dy 5. 已知平面?到单位球面(S)的中心距离为d(0 解 设平面?与(S) 的交线为(C), 则(C)的半径为1?d2,即(C)的曲率为 29 微分几何主要习题解答 k?11?d2,又(C)的主法向量与球面的法向量的夹角的余弦等于?1?d2,所以 (C)的法曲率为kn??k1?d2=?1 . 6. 利用法曲率公式kn?本量成比例。 证明 因为在球面上任一点处，沿任意方向的法截线为球面的大圆，其曲率为球面半径R的倒数1/R。即在球面上，对于任何曲纹坐标(u,v)，沿任意方向du:dv IILdu2?2Mdudv?Ndv211LMN1kn???或-，所以??(?)，即第一、第二22IRREFGREdu?2Fdudv?GdvII,证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、第二类基I类基本量成比例。 7．求证在正螺面上有一族渐近线是直线，另一族是螺旋线。 ?证明对于正螺面r={ucosv,usinv,bv}， ????ru?{cosv,sinv,0},rv?{?usinv,ucosv,b}，ruu={0,0,0}，rvv={-ucosv,-usinv,0}， L= ???(ru,rv,ruu)EG?F2=0, N= ???(ru,rv,rvv)EG?F2=0 .所以u族曲线和v族曲线都是渐近线。而u 族曲线是直线，v族曲线是螺旋线。 8. 求曲面z?xy2的渐近线. ????解 曲面的向量表示为r?{x,y,xy2},rx?{1,0,y2},ry?{0,1,2xy},rxx?{0,0,0}, ??????rxy?{0,0,2y},ryy?{0,0,2x},E?rx2?1?4y4,F?rx?ry?2xy2,G?ry2?1?4x2y2. L?0,M?2y1?4xy?y224,N?2x1?4xy?y224. 渐近线的微分方程为Ldx2?2Mdxdy?Ndy2,即4ydxdy?2xdy2?0,一族为dy=0, 即 y?c1,c1为常数. 另一族为2ydx=-xdy, 即lnx2y?c2,或x2y?c,c为常数.. 9. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线. 30 微分几何主要习题解答 证 在每一条曲线(C)的主法线曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量与(C)的主法向量所确定的平面,与曲线(C)的密切平面重合,所以每一条曲线(C)在它的主法线曲面上是渐近线. ??????方法二：任取曲线?:r?r(s)，它的主法线曲面为S:???(s,t)?r(s)?t?(s)， ?????s??(s)?t?(s)???t(??????)?(1?t?)??t??，?t??，?s??t??t???(1?t?)? ????????????在曲线?上，t = 0 , ?s??t??,曲面的单位法向量n?????s??tEG?F2???????，即n??， 所以曲线?在它的主法线曲面上是渐近线. 10.证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数, y=常数构成共轭网. ?证 曲面的向量表示为 r={x,y, f(x)+g(y)},x=常数,y=常数是两族坐标曲线。 ?????rx?{1,0,f'},ry{0,1,g'}.rxx?{0,0,f''},rxy?{0,0,0},ryy?{0,0,g''}, ?因为M?rxy???rx?ryEG?F2?0,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x=常数, y=常数 构成共轭网。 ?11.确定螺旋面r={ucosv,usinv,bv}上的曲率线. 解 ??ru?{cosv,sinv,0},rv?{?usinv,ucosv,b}， ?ruu={0,0,0}， ?????rvv={-ucosv,-usinv,0}，ruv={-sinv,cosv,0},E?ru2?1，F?ru?rv?0，?G?rv2?u2?b2， L=0, M= ?bu?b22 , N=0,曲率线的微分方程为: dv210?dudv0?bu2?b2du2u2?b2?0,即dv??021u?b2du,积分得两族曲率线方程: v?ln(u?u2?b2)?c1和v?ln(u2?b2?u)?c2. 12.求双曲面z=axy上的曲率线. 31 微分几何主要习题解答 解 E?1?a2y2,F?a2x2y2,G?1?a2x2,L?0,M?a1?ax?ay2222,N=0 . dy2?dxdya2x2y2a1?ax?ay2dx21?a2x2=0得(1?a2y2)dx2?(1?a2x2)dy2,积分 22 由1?a2x2020得两族曲率线为ln(ax?1?a2x2)??ln(ay?1?a2y2)?c. ?abuv13.求曲面r?{(u?v),(u?v),}上的曲率线的方程. 222a2?b2?v2?a2?b2?uva2?b2?u2解 E?,F?,G?,L?0, 444M= 2,N=0.代入曲率线的微分方程得所求曲率线的方程是: 2EG?Fab(a2?b2?u2)dv2?(a2?b2?v2)du2,积分得: ln(u?a2?b2?u2)??ln(v?a2?b2?v2)?c . 14.给出曲面上一曲率线L,设 L上每一点处的副法线和曲面在该点的法向量成定角,求证L是一平面曲线. ????证法一：因 L是曲率线,所以沿L有dn???ndr,又沿L 有??n=常数,求微商 ???????????????得??n???n?0,而n//dn//dr与?正交,所以??n?0,即-??·n=0,则有?=0,或???·n=0 . ???n=0 ，若?=0, 则L是平面曲线；若?·n=0 ，L又是曲面的渐近线，则沿L ， ??????这时dn=0，n为常向量，而当L是渐近线时，?=?n，所以?为常向量，L是一 平面曲线. 32