微分几何主要习题解答

??????????证法二：若??n ，则因n?dr‖? ，所以n‖? ，所以dn‖，由伏雷

??????内公式知dn‖（??????）而L是曲率线，所以沿L有dn‖?，所以有?=0,从而

曲线为平面曲线；

?????????0,因为L是曲率线，若?不垂直于n， 则有??n=常数,求微商得???n???n所 ???????????以沿L有dn‖dr??，所以??n?0，所以??n?0，即-??·n=0 ，若?=0，则??????????问题得证；否则?·n=0 ，则因n???0，有n‖?，dn‖d?‖（-??）‖? ，

矛盾。

15．如果一曲面的曲率线的密切平面与切平面成定角，则它是平面曲线。 证 曲线的密切平面与曲面的切平面成定角，即曲线的副法向量和曲面的法向量成定角，由上题结论知正确。 16．求正螺面的主曲率。

?解 设正螺面的向量表示为r={ucosv,usinv,bv}.

???r解ru?{cosv,sinv,0},rv?{?usinv,ucosv,b}，uu={0,0,0}，

?????rvv={-ucosv,-usinv,0}，ruv={-sinv,cosv,0},E?ru2?1，F?ru?rv?0，?G?rv2?u2?b2， L= 0, M =

?bu?b22 , N = 0,代入主曲率公式

a2（EG-F）?-（LG-2FM+EN）?N+ LN-M= 0 得?=2。 22(u?a)22N22N所以主曲率为 ?1?aa,??? 。 22222u?au?a17．确定抛物面z=a(x2?y2)在（0，0）点的主曲率.

????rx?{1,0,2ax}ry?{0,1,2ay}，r?{x,y,a(x2?y2)}，解 曲面方程即ryy?{0,0,2a}，

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???rxx?{0,0,2a}，rxy?{0,0,0},ryy?{0,0,2a} 。在（0，0）点,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,

2N=2a .所以?N-4a?N+4a2=0 ，两主曲率分别为 ?1 = 2 a , ?2= 2 a .

18. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数. 证 曲面上的给定点处两主曲率分别为?1 、?2，任给一方向?及与其正交的方向?+?2，则这两方向的法曲率分别为?n(?)??1cos2???2sin2?，

?n(???2)??1cos2(???2)??2sin2(???2)??1sin2???2cos2? ，即

?n(?)??n(???2)??1??2为常数。

19.证明若曲面两族渐近线交于定角,则主曲率之比为常数. 证 由?n??1cos2???2sin2? 得 tg2????1 ,即渐进方向为 ?2?1?arctg??1?,?2=-arctg?1.又-?2+?1=2?1 为常数,所以为?1为常数,即?2?2?1为常数. ?220. 求证 正螺面的平均曲率为零. 证 由第3题或第16题可知.

21. 求双曲面z=axy在点x=y=0的平均曲率和高斯曲率. 证 在点x=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=

LG?2FM?NE?0, 22(EG?F)LN?M22a K ==-. 2EG?F22.证明极小曲面上的点都是双曲点或平点.

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证法一： 由H=

?1??22=0有?1=?2=0或?1=-?2?0 .

若?1=?2=0,则沿任意方向?,?n(?)??1cos2???2sin2?=0 ,即对于任意的

IILdu2?2Mdudv?Ndv2?0,所以有L=M=N=0,对应的点为平点. du:dv , kn??22IEdu?2Fdudv?Gdv若?1=-?2?0,则K=?1?2<0 ,即LN-M2<0,对应的点为双曲点.

证法二：取曲率网为坐标网，则F = M = 0 ,因为极小曲面有H = 0 ， 所以LG + EN = 0 ,因E > 0 ,G > 0 ,所以LN < 0 。若LN?M2=0，则L = M = N = 0 ，曲面上的点是平点，若LN?M2< 0,则曲面上的点是双曲点。

23. 证明如果曲面的平均曲率为零,则渐近线构成正交网.

证法一： 如果曲面的平均曲率为零, 由上题曲面上的点都是双曲点或平点. 若为平点,则任意方向为渐近方向,任一曲线为渐近曲线,必存在正交的渐近曲线网.

?1若为双曲点, 则曲面上存在渐近曲线网.由19题, 渐近方向?满足tg???=1,

?22即?1=?/4,?2=- ?/4, 两渐近线的夹角为?2,即渐近曲线网构成正交网. 证法二：?H?0?LG?2FM?NE?0渐近线方程为Ldu2?2Mdudv?Ndv2?0 所以L(dudu?uN?du2u?N?，0所以?,???dvdv?vL?dvvdu?udu?uEdu?u?F(du?v?dv?u)?Gdv?v?dv?v[E?F(?)?G]

dv?vdv?vdu2)?dv2MN2M?F(?)?G]?0 ，所以渐近网为正交网。 LLM ，所以

L=dv?v[E1 证法三：M?0?H?(?1??2)?0 ，所以高斯曲率?K??1?2?0 ，所以

2LN?M2?0 ，所以曲面上的点是平点或双曲点。所以曲面上存在两族渐近线。取

曲面上的两族渐近线为坐标网，则L = N = 0 ，若M = 0 ，曲面上的点是平点，若

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微分几何主要习题解答

M?0 ，则?H?0?LG?2FM?NE?0 ，所以M F = 0 ，所以F = 0 ，所以渐近网为正交网。

24. 在xoz 平面上去圆周y = 0,(x?b)?z?a(b?a),并令其绕轴旋转的圆环

222?面,参数方程为 r={(b+acos?)cos? , (b+acos?)sin? , asin?},求圆环面上的椭圆点、双曲点、抛物点。

解 E =a2, F= 0 , G=(b?acos?)2, L = a, M = 0, N = cos?(b+acos?), LN -M2=a cos?(b+acos?) , 由于b > a > 0 , b+acos? > 0,所以LN -M2 的符号

3?0 ,曲面上的点为椭23?圆点，即圆环面外侧的点为椭圆点；当-?2

23?面内侧的点为双曲点；当?=?2或 时，LN -M2=0，为抛物点，即圆环面上、

2下两纬圆上的点为抛物点。

与cos?的符号一致,当0≤?

25．若曲面的第一基本形式表示为I??2(u,v)(du2?dv2)的形式，则称这个曲

?面的坐标曲线为等温网。试证：旋转曲面r?{g(t)cos?,g(t)sin?,f(t)}上存在等温

网。

?证 旋转曲面r?{g(t)cos?,g(t)sin?,f(t)}的第一基本形式为 g'2?f2I?g(t)(g2'2dt2?d?2) ，做参数变换u??g'2?fg'2dt，v=?,则在新参数

下，I?g2[t(u)](du2?dv2),为等温网。

26．两个曲面S1、S2交于一条曲线（C），而且（C）是S1的一条曲率线，则（C）也是S2的一条曲率线的充要条件为S1、S2沿着（C）相交成固定角。

??证 两个曲面S1、S2交于曲线（C），n1、n2分别为S1、S2的法向量，则沿交??????线（C），n1与n2成固定角的充要条件为n1·n2=常数，这等价于d(n1·n2)=0,即

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微分几何主要习题解答

??????dn1·n2+n1·dn2=0 ,而（C）是S1的一条曲率线，因此dn1与（C）的切向量dr共?????????线，则与n2 正交，即dn1·n2=0，于是n1·dn2=0，又dn2⊥n2，所以n1· dn2= ????dn1·n2=0的充要条件为dn2// dr，即（C）是S2的曲率线。

27．证明在曲面(S)上的一个双曲点P处，若两条渐近线都不是直线，则它们之中，一条在点P的挠率是?K,另一条在点P的挠率是-?K，其中K是(S)在P点的高斯曲率。

??证 曲面在双曲点P处，有两条渐近线过点P，沿渐近线有n=??，且II=0，?????于是有dn=?d? .则dn2?d?2?III?2HII?KI??KI，即d?2??Kds2,或

??2d?2()??K，所以有(???)??2??K,????K。 ds28．证明如果曲面上没有抛物点，则它上面的点和球面上的点是一一对应的。

???证 设给出的曲面(S): r=r(u,v)上的点r(u,v)与(u,v)?D内的点一一对应，

??????????其球面像上的点为n=n(u,v),由于nu?nv?k(ru?rv),所以|nu?nv|?k|ru?rv|=

|LN?M2|EG?F2 ，当曲面(S)上没有抛物点时，LN-M

2???0,则nu?nv??0。

?说明球面像上的点n(u,v)与区域D内的点一一对应，因此曲面(S) 上的点与球面像上的点一一对应。

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