3.3 三角恒等变换与解三角形
命题角度1利用正弦定理和余弦定理解三角形
高考真题体验·对方向
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1.(2019全国Ⅰ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)=sinA-sin Bsin
C.
(1)求A;
(2)若√2a+b=2c,求sin C.
解 (1)由已知得sinB+sinC-sinA=sinBsinC,
故由正弦定理得b+c-a=bc.
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由余弦定理得cosA=??2+??2-??2
2????=2.
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因为0° (2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sinA+sin(120°-C)=2sinC, 即 1√6√3+cosC+sinC=2sinC, 222 可得cos(C+60°)=-. √22 由于0° √2=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60° 1 =√6+√24 . 2.(2019北京·15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-1 2 . (1)求b,c的值; (2)求sin(B-C)的值. 解 (1)由余弦定理b2 =a2 +c2 -2accosB, 得b2 =32 +c2 -2×3×c×(-1 2 ). 因为b=c+2, 所以(c+2)2 =32 +c2 -2×3×c×(-1 2). 解得c=5,所以b=7. (2)由cosB=-1 得sinB=√32 2 . 由正弦定理得sinC=??5√3??sinB=14. 在△ABC中,∠B是钝角, 所以∠C为锐角. 所以cosC=√1-sin2??=11 14 . 所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=4√37 . 3.(2017全国Ⅰ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为??2 3sin??.(1)求sin Bsin C; 2 (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长. 解 (1)由题设得1 B=??2 2acsin3sin??, 即1csin??2 B=3sin??. 由正弦定理得1sin??2 sinCsinB=3sin??. 故sinBsinC=2 3 . (2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-1,即cos(B+C12ππ 2 )=-2 .所以B+C=3 ,故A=3 . 由题设得1 ??2 2bcsinA=3sin??,即bc=8. 由余弦定理得b2 +c2 -bc=9,即(b+c)2 -3bc=9,得b+c=√33. 故△ABC的周长为3+√33. 4.(2017全国Ⅱ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2??2 .(1)求cos B; (2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b. 解 (1)由题设及A+B+C=π,得sinB=8sin2??2 , 故sinB=4(1-cosB). 上式两边平方,整理得17cos2 B-32cosB+15=0, 解得cosB=1(舍去),cosB=15 17. (2)由cosB=1517得sinB=8 17, 3 故S△ABC=acsinB=ac. 2 17 14 又S△ABC=2,则ac=. 2 17 由余弦定理及a+c=6得 b2=a2+c2-2accosB =(a+c)2-2ac(1+cosB) 17 15 =36-2×2×(1+17) =4. 所以b=2. 5.(2017全国Ⅲ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积. 解 (1)由已知可得tanA=-√3,所以A=2π3 . 在△ABC中,由余弦定理得28=4+c-4ccos 2 2π3 , 即c+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4. (2)由题设可得∠CAD=2, 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为 π 1π????·????·sin62 1????·????2 2 π =1. 又△ABC的面积为2×4×2sin∠BAC=2√3,所以△ABD的面积为√3. 1 4 典题演练提能·刷高分 2 2 1.在△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,已知2????????????? ·????????????? =a-(b+c). (1)求角A的大小; (2)若a=6,b=2√3,求△ABC的面积. 解 (1)由已知2????????????? ·????????????? =a-(b+c),得2bccosA=a-(b+c),由余弦定理a=b+c-2bccosA,得4bccosA=-2bc,所以cosA=-.又0 2π3 2 2 2 2 2 2 2 . (2)由(1)知 √3cosA=-2,sinA=2,由正弦定理,得 1??sin??sinB=??= 2√3×6 √32 =2, 1 所以B=6或6π(舍去). 从而C=6,所以△ABC的面积为 π π5 S=2absinC=2×6×2√3×2=3√3. 2.(2019安徽江淮十校高三最后一卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2b,csin 111 B=bcosC-6. (1)求角C; (2)若AD是BC上的中线,延长AD至点E,使得DE=2AD=2,求E,C两点的距离. π 解 (1)在△ABC中, 5