(通用版)2020版高考数学复习专题三三角函数3.3三角恒等变换与解三角形练习(理) 下载本文

3.3 三角恒等变换与解三角形

命题角度1利用正弦定理和余弦定理解三角形

高考真题体验·对方向

2

2

1.(2019全国Ⅰ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B-sin C)=sinA-sin Bsin

C.

(1)求A;

(2)若√2a+b=2c,求sin C.

解 (1)由已知得sinB+sinC-sinA=sinBsinC,

故由正弦定理得b+c-a=bc.

2

2

2

2

2

2

由余弦定理得cosA=??2+??2-??2

2????=2.

1

因为0°

(2)由(1)知B=120°-C,由题设及正弦定理得√2sinA+sin(120°-C)=2sinC,

1√6√3+cosC+sinC=2sinC, 222

可得cos(C+60°)=-.

√22

由于0°

√2=sin(C+60°)cos60°-cos(C+60°)sin60°

1

=√6+√24

. 2.(2019北京·15)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-1

2

.

(1)求b,c的值; (2)求sin(B-C)的值.

解 (1)由余弦定理b2

=a2

+c2

-2accosB,

得b2

=32

+c2

-2×3×c×(-1

2

).

因为b=c+2,

所以(c+2)2

=32

+c2

-2×3×c×(-1

2).

解得c=5,所以b=7.

(2)由cosB=-1

得sinB=√32

2

.

由正弦定理得sinC=??5√3??sinB=14. 在△ABC中,∠B是钝角, 所以∠C为锐角.

所以cosC=√1-sin2??=11

14

.

所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=4√37

.

3.(2017全国Ⅰ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为??2

3sin??.(1)求sin Bsin C;

2

(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.

解 (1)由题设得1

B=??2

2acsin3sin??,

即1csin??2

B=3sin??.

由正弦定理得1sin??2

sinCsinB=3sin??.

故sinBsinC=2

3

.

(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-1,即cos(B+C12ππ

2

)=-2

.所以B+C=3

,故A=3

.

由题设得1

??2

2bcsinA=3sin??,即bc=8.

由余弦定理得b2

+c2

-bc=9,即(b+c)2

-3bc=9,得b+c=√33. 故△ABC的周长为3+√33.

4.(2017全国Ⅱ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2??2

.(1)求cos B;

(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b. 解 (1)由题设及A+B+C=π,得sinB=8sin2??2

,

故sinB=4(1-cosB).

上式两边平方,整理得17cos2

B-32cosB+15=0,

解得cosB=1(舍去),cosB=15

17.

(2)由cosB=1517得sinB=8

17,

3

故S△ABC=acsinB=ac.

2

17

14

又S△ABC=2,则ac=.

2

17

由余弦定理及a+c=6得

b2=a2+c2-2accosB =(a+c)2-2ac(1+cosB)

17

15

=36-2×2×(1+17) =4.

所以b=2.

5.(2017全国Ⅲ·17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c;

(2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积.

解 (1)由已知可得tanA=-√3,所以A=2π3

.

在△ABC中,由余弦定理得28=4+c-4ccos

2

2π3

,

即c+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4. (2)由题设可得∠CAD=2,

所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=6.故△ABD面积与△ACD面积的比值为

π

1π????·????·sin62

1????·????2

2

π

=1.

又△ABC的面积为2×4×2sin∠BAC=2√3,所以△ABD的面积为√3.

1

4

典题演练提能·刷高分

2

2

1.在△ABC中,角A,B,C对边分别为a,b,c,已知2????????????? ·????????????? =a-(b+c). (1)求角A的大小;

(2)若a=6,b=2√3,求△ABC的面积.

解 (1)由已知2????????????? ·????????????? =a-(b+c),得2bccosA=a-(b+c),由余弦定理a=b+c-2bccosA,得4bccosA=-2bc,所以cosA=-.又0

2π3

2

2

2

2

2

2

2

.

(2)由(1)知

√3cosA=-2,sinA=2,由正弦定理,得

1??sin??sinB=??=

2√3×6

√32

=2, 1

所以B=6或6π(舍去). 从而C=6,所以△ABC的面积为

π

π5

S=2absinC=2×6×2√3×2=3√3.

2.(2019安徽江淮十校高三最后一卷)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2b,csin

111

B=bcosC-6.

(1)求角C;

(2)若AD是BC上的中线,延长AD至点E,使得DE=2AD=2,求E,C两点的距离.

π

解 (1)在△ABC中,

5