(通用版)2020版高考数学复习专题三三角函数3.3三角恒等变换与解三角形练习(理) 下载本文

由正弦定理得a=??sin??sin(120°-??)

√3sin??=

sin??=

12tan??+2

.由于△ABC为锐角三角形,

故0°

由(1)知A+C=120°,所以30°

故1

8

.

因此,△ABC面积的取值范围是(√3√38,2). 典题演练提能·刷高分

1.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sin A-sin B)=c(sin C-sin B).(1)求A.

(2)若a=4,求b2

+c2

的取值范围.

解 (1)根据正弦定理,得(a+b)(a-b)=c(c-b),

即a2

-b2

=c2-bc,

则??2+??2-??211

2????=2,即cosA=2.

由于0

3.

(2)根据余弦定理,a2

=b2

+c2

-2bccosπ

3, 所以b2+c2

=16+bc≤16+??2+??2

2

,

则有b2+c2≤32.又b2+c2

=16+bc>16, 所以b2

+c2

的取值范围是(16,32].

2.(2019北京房山高三模拟)已知在△ABC中,a2

+c2

-ac=b2

.

11

(1)求角B的大小;

(2)求cos A+cos C的最大值.

解 (1)由余弦定理得

cosB=??2+??2-??2

????1

2????=

2????=2

.

因为角B为三角形的内角,故∠B=π3

.

(2)由(1)可得A+C=π-B=2π3

,∴A=2π3

-C.

∴cosA+cosC=cos

2π3

-C+cosC

=cos

2π3

cosC+sin

2π3

sinC+cosC

=-1

2·cosC+√32

·sinC+cosC

=√3·sinC+1

2

2·cosC

=cosπ

·sinC+sinπ

π

66·cosC=sinC+6.

∵0

,∴π

π

5π6

6

.

∴1π

2

故cosA+cosC的最大值是1.

3.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,且2bcos B=acos C+ccos A. (1)求B的大小;

(2)求△ABC面积的最大值.

解 (1)由2bcosB=acosC+ccosA,可得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sinB,∵sinB≠0,

12

∴cosB=2,∴B=3.

(2)方法一:由b=2,B=3,根据余弦定理可得ac=a+c-4,由基本不等式可得ac=a+c-4≥2ac-4,所以ac≤4,当且仅当a=c时,等号成立.

π

2

2

2

2

从而S△ABC=2acsinB≤2×4×2=√3, 故△ABC面积的最大值为√3.

??sin??11√3方法二:因为=

??sin??=

??sin??=

2√32

=

4√3, 所以a=3sinA,c=3sinC,

√√1

1

4444S=2acsinB=2×√3sinA·√3sinC·sinB =4√3sinAsin

3

2π3

-A=2√3cos2A-3π+√3,

3

3

π

2

当2A-3π=0,即A=3时,Smax=√3, 故△ABC面积的最大值为√3.

π

2

4.(2019山西太原高三期末)已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C所对的边,bsin A=acosB-6. (1)求角B的大小;

(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.

解 (1)在△ABC中,由正弦定理sin??=sin??,可得bsinA=asinB,

π

π

????∵bsinA=acosB-6,∴asinB=acosB-6,

即sinB=cosB-6,整理得tanB=√3,

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π

∵B∈(0,π),∴B=3.

(2)由(1)及正弦定理,得4=a+c-2ac·cos3,即ac=a+c-4,

2

2

π

π

22

∵a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时等号成立, ∴ac≥2ac-4,解得ac≤4,

√3∴S△ABC=2acsinB≤2×4×2=√3(当且仅当a=c时等号成立).故△ABC面积的最大值为√3.

5.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且atan A=√3(ccos B+bcos C). (1)求角A;

(2)若点D满足????????????? =2????????????? ,且BD=3,求2b+c的取值范围. 解 (1)∵atanA=√3(ccosB+bcosC),

11

∴sinA·tanA=√3(sinC·cosB+sinB·cosC), ∴sinA·tanA=√3sin(B+C)=√3sinA. ∵0

(2)在△ABD中,根据余弦定理得AD+AB-BD=2AD·ABcosA, 即(2b)+c-9=2bc,∴(2b+c)-9=6bc,

2

2

2

2

2

2

又2bc≤

2??+??2

2

,∴(2??+??)-9

3

2

=2bc≤

2??+??2

2

.

∴(2b+c)2≤36,∴2b+c≤6.

又2b+c>3,∴3<2b+c≤6.

6.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若(a-c)(sin A+sin C)=b(sin A-sin B).

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(1)求角C;

(2)若△ABC的外接圆半径为2,求△ABC周长的最大值. 解 (1)由正弦定理得(a-c)(a+c)=b(a-b),

∴a-c=ab-b222

??2+??2-??2,∴2????=,即cosC=.

2

2

11

∵0

(2)设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理2R=sin??=sin??=sin??=4,

??????π

∴a=4sinA,b=4sinB,c=4sinC=2√3, ∴周长l=a+b+c=4sinA+4sinB+2√3

2π3

=4sinA+4sin

-A+2√3

=4sinA+4×2cosA+4×2sinA+2√3 =6sinA+2√3cosA+2√3

π

√31

=4√3sinA+6+2√3,

2π3

π

π5π6

∵A∈0,

π

,∴A+6∈

π

,

6

.

∴当A+6=2即A=3时,lmax=4√3+2√3=6√3. ∴当A=B=3时,△ABC周长的最大值为6√3.

π

π

命题角度3应用正弦定理和余弦定理解决实

际问题

高考真题体验·对方向

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