(通用版)2020版高考数学复习专题三三角函数3.3三角恒等变换与解三角形练习(理) 下载本文

(2009全国·17)为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.

解 方案一:①需要测量的数据有:A点到M,N点的俯角α1,β1;B点到M,N点的俯角α2,β2;A,B的距离d(如图所示).

2

②第一步:计算AM,由正弦定理得AM=sin(??+??;

)

1

2

??sin??第二步:计算AN,由正弦定理得AN=??sin??2

; sin(??2-??1)

第三步:计算MN,由余弦定理得

MN=√????2+????2-2????·????cos(??1-??1).

方案二:①需要测量的数据有:

A点到M,N点的俯角α1,β1;B点到M,N点的俯角α2,β2;A,B间的距离d(如图所示).

??sin??1

1

②第一步:计算BM,由正弦定理得BM=sin(??+??;

)

2

16

第二步:计算BN,由正弦定理得BN=sin(??第三步:计算MN,由余弦定理得

??sin??1

; 2-??1)

MN=√????2+????2+2????·????cos(??2+??2).

典题演练提能·刷高分

1.如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°,于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°,AC=0.1 km.

(1)试探究图中B,D间的距离与另外哪两点间距离会相等? (2)求B,D间的距离.

解 (1)在△ABC中,∠DAC=30°,

∠ADC=60°-∠DAC=30°,∴CD=AC=0.1. 又∠BCD=180°-60°-60°=60°,

∴CB是△CAD底边AD的中垂线,∴BD=BA.

????????????sin60°sin15°

(2)在△ABC中,由正弦定理,得sin∠??????=sin∠??????,即AB==

3√2+√620

, ∴BD=3√2+√620

(km).

17

答:B,D间的距离是

3√2+√620

km.

2.

如图,岛A,C相距10√7海里.上午9点整有一客轮在岛C的北偏西40°且距岛C10海里的D处,沿直线方向匀速开往岛A,在岛A停留10分钟后前往B市.上午9:30测得客轮位于岛C的北偏西70°且距岛C10√3海里的E处,此时小张从岛C乘坐速度为v海里/时的小艇沿直线方向前往A岛换乘客轮去B市.

(1)若v∈(0,30],问小张能否乘上这班客轮?

(2)现测得cos∠BAC=-5,sin∠ACB=√.已知速度为v海里/时(v∈(0,30])的小艇每小时的总费用为

5

1

2v+v+50元,若小张由岛C直接乘小艇去B市,则至少需要多少费用? 2

4

5

解 (1)如题图,根据题意得:CD=10,CE=10√3,AC=10√7,∠DCE=70°-40°=30°.

在△CDE中,由余弦定理得,

DE=√????2+????2-2????·????·cos∠??????=√102+(10√3)-2×10×10√3×2=10,

所以客轮的航行速度v1=10×2=20(海里/时). 因为CD=DE,所以∠DEC=∠DCE=30°, 所以∠AEC=180°-30°=150°.

在△ACE中,由余弦定理得,AC=AE+CE-2AE·CE·cos∠AEC,

2

2

2

2√3 18

整理得AE+30AE-400=0,解得AE=10或AE=-40(不合题意,舍去负值).

2

所以客轮从E处到岛A所用的时间t1==(小时),小张到岛A所用的时间至少为t2=20

2

√7(小时). 3

101

10√730

=

由于t2>t1+,所以若小张9点半出发,则无法乘上这班客轮.

6

1

(2)在△ABC中,cos∠BAC=-,sin∠ACB=, 5

4

√55

所以∠ACB为锐角,sin∠BAC=,cos∠ACB=5

32√55

.

所以sinB=sin[180°-(∠BAC+∠ACB)]=sin(∠BAC+∠ACB)

=sin∠BACcos∠ACB+cos∠BACsin∠ACB=5×

由正弦定理得sin∠??????=sin??, 所以BC=10√7×

52√525

3

32√55

5

4

√55

=

2√525

.

????????=15√35,

所以小张由岛C直接乘小艇去城市B的总费用为f(v)=1

15√351

??(2v+v+50)=15√35

2

50

1v+1+2

??≥15√352√1??·50+1=165√35(v∈(0,30]),当且仅当2v=??,即v=10时,f(v)min=165√35(元).所以

2??若小张由岛C直接乘小艇去B市,其费用至少需165√35元.

50

19