……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………

1．4 全称量词与存在量词

1．4．1 全称量词 1．4．2 存在量词

1．理解全称量词、全称命题的定义． 2．理解存在量词、特称命题的定义． 3．会判断一个命题是全称命题还是特称命题，并会判断它们的真假．

全称量词和存在量词 量词 符号 命题 命题 形式 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 ? 含有全称量词的命题是全称命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某一个、有的 ? 含有存在量词的命题是特称命题 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”，可可用符号简记为“?x∈M，p(x)” 用符号简记为“?x0∈M，p(x0)” (1)全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等．

(2)特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在”等．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．( )

(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．( ) (3)全称命题一定含有全称量词，特称命题一定含有存在量词．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×

下列命题中，不是全称命题的是( ) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．每一个向量都有大小

D．一定存在没有最大值的二次函数 答案：D

下列特称命题是假命题的是( )

1

……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………

A．存在x0∈Q，使2x0－x30＝0 B．存在x0∈R，使x20＋x0＋1＝0 C．有的素数是偶数 D．有的有理数没有倒数 答案：B

命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词(填“全称”或“存在”)．

答案：有些 存在

探究点1 全称命题与特称命题的辨析

判断下列语句是否为全称命题或特称命题． (1)有一个实数a不能取对数；

(2)所有不等式的解集A，都满足A?R； (3)三角函数都是周期函数吗？ (4)有的向量方向不定； (5)自然数的平方是正数．

【解】 因为(1)(4)含有存在量词，所以命题(1)(4)为特称命题；又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(5)均含有全称量词，故为全称命题；(3)不是命题．综上所述：(1)(4)为特称命题，(2)(5)为全称命题，(3)不是命题．

判断一个语句是全称命题还是特称命题的思路

[注意] 全称命题可以省略全称量词，特称命题的存在量词一般不能省略．

1．给出下列命题：

2①存在实数x0＞1，使x0＞1；

②全等的三角形必相似； ③有些相似三角形全等；

④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数． 其中特称命题的个数为( )

2

……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………

A．1 C．3

B．2 D．4

解析：选C．①③④为特称命题，②为全称命题．故选C． 2．用量词符号“?”“?”表述下列命题． (1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；

(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立； 11

(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．

32解：(1)?x∈R，x2＋x＋1>0； (2)?a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解； (3)?x0，y0∈Z，3x0－2y0＝10； 11

(4)?x∈Q，x2＋x＋1是有理数．

32探究点2 全称命题与特称命题的真假判断

判断下列命题的真假． (1)?x0∈Z，x30＜1；

(2)存在一个四边形不是平行四边形；

(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)?x∈N，x2>0．

【解】 (1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1， 所以“?x0∈Z，x30＜1”是真命题． (2)真命题，如梯形．

(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N，02＝0，所以命题“?x∈N，x2>0”是假命题．

判断全称命题和特称命题真假的方法

(1)要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．

(2)要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x，使命题p(x)为假．

指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．

(1)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (2)对任意实数x1、x2，若x1

3

……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………

解：(2)是全称命题，(1)(3)是特称命题．

(1)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题． (2)存在x1＝0，x2＝π，x1

对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立，求实数m的取值范围． 【解】 令y＝sin x＋cos x，x∈R，

π

x＋?∈[－2，2]， 则y＝sin x＋cos x＝2sin??4?因为?x∈R，sin x＋cos x>m恒成立， 所以只要m<－2即可．

所以所求m的取值范围是(－∞，－2)．

[变条件]本例条件变为：“存在实数x0，使不等式sin x0＋cos x0>m有解”，求实数m的取值范围．

解：令y＝sin x＋cos x，x∈R，

π

x＋?∈[－2，2]． 因为y＝sin x＋cos x＝2sin??4?又因为?x0∈R，sin x0＋cos x0>m有解， 所以只要m<2即可，

所以所求m 的取值范围是(－∞，2)．

求解含有量词的命题中参数范围的策略

(1)对于全称命题“?x∈M，a＞f(x)(或a＜f(x))”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数f(x)的最大值(或最小值)，即a＞f(x)max(或a＜f(x)min)．

(2)对于特称命题“?x0∈M，a＞f(x0)(或a＜f(x0))”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数f(x)的最小值(或最大值)，即a＞f(x)min(或a＜f(x)max)．

已知命题p：“?x∈[1，＋∞)，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x20＋

2ax0＋2－a＝0”．若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围为( )

A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≤－2或1≤a≤2} C．{a|a≥1} D．{a|－2≤a≤1}

解析：选A．由已知可知p和q均为真命题，由命题p为真命题，得a≤1；由命题q为真命题，知Δ＝4a2－4(2－a)≥0成立，得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围为{a|a≤

4

……………………………………………………………名校名师推荐…………………………………………………

－2或a＝1}．

1．下列命题是“?x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是( ) A．有一个x∈R，使得x2＞3 B．对有些x∈R，使得x2＞3 C．任选一个x∈R，使得x2＞3 D．至少有一个x∈R，使得x2＞3 答案：C

2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x0，使x20≤0 C．两个无理数的和必是无理数 1D．存在一个负数x0，使＞2

x0答案：B

3．已知命题p：?x∈R，x2＋2x－a>0．若p为真命题，则实数a的取值范围是( ) A．(－1，＋∞) C．[－1，＋∞)

B．(－∞，－1) D．(－∞，－1]

解析：选B．依题意不等式x2＋2x－a>0对x∈R恒成立，所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1．

4．判断下列命题的真假．

(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示； (2)存在一个实数x0，使得等式x20＋x0＋8＝0成立．

解：(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为 2，2 就不能用正有理数表示．

(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．

知识结构 深化拓展 1．判定命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是含有全称量词还是含有存在量词．另外，需要注意的是有些全称命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及 的意义去判断． 5