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3.3 线性方程组解的判定 在上一节中,我们利用实例讨论了线性方程组解的各种情况,分析以上解方程组的过程,可以得到用消元法解线性方程组的一般步骤： 写出线性方程组（1）的增广矩阵. （一）设,否则,将的第1行与另一行交换,使第一行第一列的元素不为0. (二) 第一行乘以()再加到第行上(),使化成如下形式 对这个矩阵的第二行到第行,再按以上步骤进行,最后可以得到如下形状的阶梯型矩阵 其中 注意到增广矩阵去掉最后一列就是系数矩阵，此时系数矩阵也经过同样初等行变换化为阶梯型矩阵.容易看出, 增广矩阵的秩与系数矩阵的秩.以下分析与之间的关系,确定方程组有解的充分条件. 方程组(1)相应的阶梯型方程组为 （2） 1页

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其中 从上节讨论可知,方程组(2)与原方程组(1)是同解方程组. 由(2)可见,化为“”形式的方程是多余的方程，去掉它们不影响方程组的解. 我们只需讨论阶梯型方程组(2)的解的各种情形,便可知道原方程组(1)的解的情形. 根据初等变换不改变矩阵秩的性质,有 显然,当方程组(2)中,,则(2)中的第个方程 “”是矛盾方程，所以方程组(2)无解，从而原方程组(1)也无解.如果方程组(2)中,又有以下两种情况： 1. 当时，方程组（2）可以写成 （3） 因为，则满足： 依据克莱姆法则，方程组有唯一解.对于上述等价方程组（3）的解，除了利用克莱姆法则求解外，我们还可以从方程组(3)的最后一个方程中解出则可求出未知量. ,再回代到第个方程,求出.如此继续下去,(2)当时,方程组(2)可改写成 2页

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(4) 同样对它进行回代过程,则可求出达式 含有个未知量的表 (5) 由此可见,任给个未知量的一组值,就可定出,其中的值,从而得为任意常数,则到(4)或(1)的一个解.如果取方程组(4)有如下无穷多组解： （6） 这是（4）的无穷多解的一般形式，也是（1）的无穷多解的一般形式. 个未知量可称为自由未知量. 以上解还可以表达为向量形式： 3页