20．（12分）

y2?2x，点A(2,0)，B(?2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点. 设抛物线C：（1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； （2）证明：?ABM??ABN. 21．（12分）

已知函数f(x)?aex?lnx?1.

（1）设x?2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；

1（2）证明：当a≥时，f(x)≥0.

e

文科数学试题 第5页（共10页）

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?k|x|?2. 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为?2?2?cos??3?0.

（1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.

23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）

已知f(x)?|x?1|?|ax?1|.

（1）当a?1时，求不等式f(x)?1的解集；

（2）若x?(0,1)时不等式f(x)?x成立，求a的取值范围.

文科数学试题 第6页（共10页）

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学试题参考答案

一、选择题 1．A 7．A

2．C 8．B

3．A 9．B

4．C 10．C

5．B 11．B

6．D 12．D

二、填空题 13．?7

三、解答题 17．解：

（1）由条件可得an?1?14．6

15．22 16．23 32(n?1)an. n将n?1代入得，a2?4a1，而a1?1，所以，a2?4. 将n?2代入得，a3?3a2，所以，a3?12. 从而b1?1，b2?2，b3?4.

（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. 由条件可得

an?12an，即bn?1?2bn，又b1?1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列. ?n?1n

（3）由（2）可得18．解：

an?2n?1，所以an?n?2n?1. n（1）由已知可得，?BAC?90?，BA?AC. 又BA?AD，所以AB?平面ACD. 又AB?平面ABC， 所以平面ACD?平面ABC.

（2）由已知可得，DC?CM?AB?3，DA?32. 又BP?DQ?2DA，所以BP?22. 3作QE?AC，垂足为E，则QE1DC. 3由已知及（1）可得DC?平面ABC，所以QE?平面ABC，QE?1. 因此，三棱锥Q?ABP的体积为

111VQ?ABP??QE?S△ABP??1??3?22sin45??1.

332

文科数学试题 第7页（共10页）

19．解：

（1）

（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为

0.2?0.11?0.12.6?0.12?0.050.48，

因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48. （3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

x1=1(0.05?10.15?3501(0.05?10.15?5500.25?20.35?40.45?90.55?260.65?5)0.48. 该家庭使用了节水龙

头后50天日用水量的平均数为

x2=0.25?130.35?100.45?160.55?5)0.35.

估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48-0.35)?36520．解：

47.45(m3).

（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x?2，可得M的坐标为(2,2)或(2,?2). 所以直线BM的方程为y?11x?1或y??x?1. 22

（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以?ABM??ABN.

当l与x轴不垂直时，设l的方程为y?k(x?2)(k?0)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1?0,x2?0. ?y?k(x?2),2由?2得ky2?2y?4k?0，可知y1?y2?,y1y2??4.

k?y?2x直线BM，BN的斜率之和为

kBM?kBN?将x1?y1y2xy?xy?2(y1?y2)??2112. ① x1?2x2?2(x1?2)(x2?2)

y1y?2，x2?2?2及y1?y2,y1y2的表达式代入①式分子，可得 kkx2y1?x1y2?2(y1?y2)?2y1y2?4k(y1?y2)?8?8??0.

kk

所以kBM?kBN?0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以?ABM??ABN. 综上，?ABM??ABN.

文科数学试题 第8页（共10页）