难点37 数形结合思想

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,其“数”与“形”结合,相互渗透,把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合,使代数问题、几何问题相互转化,使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想,就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义又揭示其几何意义,将数量关系和空间形式巧妙结合,来寻找解题思路,使问题得到解决.运用这一数学思想,要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.

●难点磁场

1.曲线y=1+4?x2 (–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时,实数r的取值范围 .

2.设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时,f(x)＞a恒成立,求a的取值范围. ●案例探究

［例1］设A={x｜–2≤x≤a},B={y｜y=2x+3,且x∈A},C={z｜z=x2,且x∈A },若C?B,求实数a的取值范围.

命题意图：本题借助数形结合,考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目.

知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将C?B用不等式这一数学语言加以转化.

错解分析：考生在确定z=x2,x∈［–2,a］的值域是易出错,不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a＜–2这一种特殊情形.

技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么,然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言,进而分析条件与结论特点,再将其转化为图形语言,利用数形结合的思想来解决.

解：∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数 ∴–1≤y≤2a+3,即B={y｜–1≤y≤2a+3}

作出z=x2的图象,该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：

①当–2≤a≤0时,a2≤z≤4即C={z｜z2≤z≤4}

1与–2≤a＜0矛盾. 2②当0≤a≤2时,0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4},要使C?B,由图可知：

要使C?B,必须且只须2a+3≥4得a≥

?2a?3?4必须且只需?

0?a?2?解得

1≤a≤2 2③当a＞2时,0≤z≤a2,即C={z｜0≤z≤a2},要使C?B必须且只需

?a2?2a?3解得2＜a≤3 ??a?2④当a＜–2时,A=?此时B=C=?,则C?B成立. 综上所述,a的取值范围是(–∞,–2)∪［

1,3］. 2［例2］已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证：

cos2???2c2?2. a?b2命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目. 知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.

错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义,是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.

技巧与方法：善于发现条件的几何意义,还要根据图形的性质分析清楚结论的几 何意义,这样才能巧用数形结合方法完成解题.

证明:在平面直角坐标系中,点A（cosα,sinα）与点B（cosβ, sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.

从而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2 =2–2cos(α–β)

又∵单位圆的圆心到直线l的距离d?|c|a?b22

由平面几何知识知｜OA｜2–(

1｜AB｜)2=d2即 22?2cos(???)c221??d?2

4a?b∴cos2???2c2?2. a?b2●锦囊妙计

应用数形结合的思想,应注意以下数与形的转化： （1）集合的运算及韦恩图 （2）函数及其图象

（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象 （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线

以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.

以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.

●歼灭难点训练 一、选择题

1.（★★★★）方程sin(x–

?1)=x的实数解的个数是( ) 44A.2 B.3 C.4 D.以上均不对

2.（★★★★★）已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b),且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β),则实数a、b、α、β的大小关系为( )

A.α＜a＜b＜β B.α＜a＜β＜b C.a＜α＜b＜β D.a＜α＜β＜b 二、填空题

3.（★★★★★）(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2,(θ、t为参数)的最大值是 . 4.（★★★★★）已知集合A={x｜5–x≥2(x?1)},B={x｜x2–ax≤x–a},当AB时,则a的取值范围是 .

三、解答题

5.（★★★★）设关于x的方程sinx+3cosx+a=0在（0,π）内有相异解α、β. （1）求a的取值范围； （2）求tan(α+β)的值.

6.（★★★★）设A={(x,y)｜y=2a2?x2,a＞0},B={(x,y)｜(x–1)2+(y–3)2=a2,a＞0},且A∩B≠?,求a的最大值与最小值.

x2y2?7.（★★★★）已知A（1,1）为椭圆=1内一点,F1为椭圆左焦点,P为椭圆上一95动点.求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值.

8.（★★★★★）把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过,那么正方形窗口的边长至少应为多少？

参 考 答 案

●难点磁场

1.解析：方程y=1+4?x2的曲线为半圆,y=r(x–2)+4为过（2,4）的直线.

答案：（

53,］ 1242.解法一：由f(x)＞a,在［–1,+∞)上恒成立?x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立.