【创新方案】2017届高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 第一节
坐标系课后作业 理 选修4-4
1．在极坐标系中，求直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标．
π??2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cos?θ－?上任意两点间的距离的最大值． 3??
π?π?3??3．在极坐标系中，已知圆C经过点P?2，?，圆心为直线ρsin?θ－?＝－与4?3?2??极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
π??θ－4．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ－22ρcos??＝2.
4??
2
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
?π?5．(2016·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为?2，?. 3??
(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－3)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．
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π?π???6．已知直线l：ρsin?θ－?＝4和圆C：ρ＝2kcos?θ＋?(k≠0)，若直线l上的4?4???点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．
答 案
1．解：ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程为3x－y＝2，即y＝3x－2.
ρ＝4sin θ可化为x2＋y2＝4y，
把y＝3x－2代入x＋y＝4y，
得4x－83x＋12＝0，即x－23x＋3＝0， 所以x＝3，y＝1.
2
2
2
2
?π?所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为?2，?.
6??
π?3?1??2
2．解：由ρ＝4cos?θ－?可得ρ＝4ρ?cos θ＋sin θ?＝2ρcos θ＋23
3??2?2?
ρsin θ，即得x2＋y2＝2x＋23y，配方可得(x－1)2＋(y－3)2＝4，该圆的半径为2，则
圆上任意两点间距离的最大值为4.
π?3?3．解：在ρsin?θ－?＝－中令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1,0)． 3?2?π??因为圆C经过点P?2，?， 4??所以圆C的半径PC＝
2
2
π2
＋1－2×1×2cos＝1，于是圆C过极点，所以圆
4
C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
4．解：(1)由ρ＝2知ρ＝4，所以x＋y＝4； π??2
因为ρ－22ρcos?θ－?＝2，
4??
ππ??2
所以ρ－22ρ?cos θcos＋sin θsin ?＝2，
44??所以x＋y－2x－2y－2＝0.
(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， π?2?即ρsin?θ＋?＝. 4?2?
ππ
5．解：(1)如图，设圆C上任意一点A(ρ，θ)，则∠AOC＝θ－或－θ.
33
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2
2
2
2
2
π2
由余弦定理得，4＋ρ－4ρcosθ－＝4，
3
∴圆C的极坐标方程为
ρ＝4cos?θ－?.
3
??
π?
?
作图如图所示．
(2)在直角坐标系中，点C的坐标为(1，3)，可设圆C上任意一点P(1＋2cos α，3＋2sin α)，
又令M(x，y)，由Q(5，－3)，M是线段PQ的中点，
6＋2cos αx＝，??2
的轨迹的参数方程为?2sin αy＝??2
得点M
(α为参数)，即
??x＝3＋cos α，
?
?y＝sin α?
(α为参数)，
2
2
∴点M的轨迹的普通方程为(x－3)＋y＝1. 6．解：∵ρ＝2kcos θ－2ksin θ， ∴ρ＝2kρcos θ－2kρsin θ，
∴圆C的直角坐标方程为x＋y－2kx＋2ky＝0， 即?x－2
2
2
?
?2?2?2?22
k?＋?y＋k?＝k， 2??2?
2??2
k，－k?.
2??2
∴圆心的直角坐标为?∵ρsin θ·22
－ρcos θ·＝4， 22
∴直线l的直角坐标方程为x－y＋42＝0， 2?2?
?k＋k＋42?
2?2?
2
∴－|k|＝2.
即|k＋4|＝2＋|k|， 两边平方，得|k|＝2k＋3，
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