第六节 定积分的几何应用

分布图示

★ 面积表为定积分的步骤 ★ 定积分的微元法 ★ 直角坐标情形 ★ 例1

★ 例2 ★ 例3 ★ 例4

★ 参数方程情形 ★ 例5 ★ 极坐标情形 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8

★ 圆锥 ★ 圆柱 ★ 旋转体 ★ 旋转体的体积 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 例 11 ★ 例 12 ★ 例 13 ★ 平行截面面积为已知的立体的体积 ★ 例 14 ★ 例 15 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-6

内容要点

一、微元法

定积分的所有应用问题，一般总可按“分割、求和、取极限”三个步骤把所求的量表示为定积分的形式.

可以抽象出在应用学科中广泛采用的将所求量U（总量）表示为定积分的方法——微元法，这个方法的主要步骤如下：

(1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]，任取[a,b]的一个区间微元[x,x?dx]，求出相应于这个区间微元上部分量?U的近似值，即求出所求总量U的微元 dU?f(x)dx；

(2) 由微元写出积分 根据dU?f(x)dx写出表示总量U的定积分

U??dU??f(x)dx

aabb微元法在几何学、物理学、经济学、社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一节主要介绍微元法在几何学与经济学中的应用.

应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：

(1) 所求总量U关于区间[a,b]应具有可加性，即如果把区间[a,b]分成许多部分区间, 则U相应地分成许多部分量, 而U等于所有部分量?U之和. 这一要求是由定积分概念本身所决定的;

(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量?U的近似表达式f(x)dx，即使得

f(x)dx?dU??U. 在通常情况下，要检验?U?f(x)dx是否为dx的高阶无穷小并非易

事，因此，在实际应用要注意dU?f(x)dx的合理性.

二、平面图形的面积

（1）直角坐标系下平面图形的面积 （2）极坐标系下平面图形的面积

1[r(?)]2d? 2?12所求曲边扇形的面积 A??[?(?)]d?.

?2曲边扇形的面积微元 dA?三、旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这条直线称为旋转轴.

旋转体的体积微元 dV??[f(x)]dx, 所求旋转体的体积 V??2[f(x)]dx. ?ab2四、平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体

上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.

体积微元 dV?A(x)dx, 所求立体的体积 V??A(x)dx.

ab

例题选讲

直角坐标系下平面图形的面积

2例1 (E01) 求由y?x和y?x所围成的图形的面积.

22 解 面积微元: dA?(x?x)dx

所求面积: A?

?10?21x?(x?x2)dx??x???.

33??3032321例2 (E02) 求由抛物线y?1?x与直线y?1?x所围成的面积. 解 如图,

并由方程组

?y?1?x ?2?y?x?1解得它们的交点为(?1,0),(2,3).

选x为积分变量, 则x的变化范围是[?1,2],任取其上的一个区间微元[x,x?dx],则可得到相应面积微元dA?[(1?x)?(x?1)]dx,

2从而所求面积A?

?2?19[(1?x)?(x2?1)]dx?.

2例3 (E03) 求由y?2x和y?x?4所围成的图形的面积. 解 面积微元:

2?y2?dA???y?4?2??dy,

??所求面积: A?

例4 计算由曲线y?x3?6x和y?x2所围成的图形的面积. 解 面积微元:

(1) x?[?2,0],dA1?(x?6x?x)dx; (2) x?[0,3],dA2?(x?x?6x)dx. 所求面积:

2332?4?2dA??4?2?y2???y?4?2??dy?18. ??A??dA1??dA2??(x3?6x?x2)dx??(x2?x3?6x)dx??20?200303253. 12

x2y2例5 (E04) 求椭圆2?2?1所围成的面积.

ab解 椭圆面积: A?4A1, 面积微元: dA1?ydx,

aA?4?ydx?4??bsintd(acost)?4ab?2sin2tdt

00?02

例6 (E05) 求双纽线?2?a2cos2?所围平面图形的面积.

12Acos2?d?, 2??12所求面积:A?4?4dA?4?4cos2?d??a.

002解 面积微元:dA?

例7 (E06) 求心形线r?a(1?cos?)所围平面图形的面积(a?0). 解 面积微元:dA?所求面积:

12a(1?cos?)2d?, 2