小题只按作图及所填表格（表1）评分）．

表1

n CGVG / e变化范围 0 1 2 3 五、

折射率 n = 1.50 、半径为R的透明半圆柱体放在空气中，其垂直于柱体轴线的横截面如图所示，图中 O 点为横截面与轴线的交点．光仅允许从半圆柱体的平面 AB 进入，一束足够宽的平行单色光沿垂直于圆柱轴的方向以入射角i 射至 AB 整个平面上，其中有一部分入射光束能通过半圆柱体从圆柱面射出．这部分光束在入射到 AB 面上时沿 y 轴方向的长度用 d 表示．本题不考虑光线在透明圆柱体内经一次或多次反射后再射出柱体的复杂情形．

1．当平行入射光的入射角 i 在0°～90° 变化时，试求 d 的最小值 dmin 和最大值dmax ．

2．在如图所示的平面内，求出射光束与柱面相交的圆弧对 O 点的张角与入射角 i 的关系．并求在掠入射时上述圆弧的位置．

z 六、

根据广义相对论，光线在星体的引力场中会发生弯曲，在包含引力中心的平面内是一条在引力中心附近微弯的曲线．它距离引力中心最近的点称为光线的近星点．通过近星点与引力中心的直线是光线的对称轴．若在光线所在平面内选择引力中心为平面极坐标（r ，φ）的原点，选取光线的对称轴为坐标极轴，则光线方程（光子的轨迹方程）为

GM / c2

r = ，

acosφ + a2 ( 1 + sin2φ)

G 是万有引力恒量，M 是星体质量，c 是光速，a 是绝对值远小于1的参数．现在假设离地球 80.0光年处有一星体，在它与地球连线的中点处有一白矮星．如果经过该白矮星两侧的星光对地球上的观测者所张的视角是1.80×107rad ，试问此白矮星的质量是多少千克？

－

已知 G = 6.673 ×10

－11

m3 / ( kg ?s2 )

七、

1．假设对氦原子基态采用玻尔模型，认为每个电子都在以氦核为中心的圆周上运动，半径相同，角动量均为?：?= h / 2π，其中 h 是普朗克常量．

（I）如果忽略电子间的相互作用，氦原子的一级电离能是多少电子伏？一级电离能是指把其中一个电子移到无限远所需要的能量．

（II）实验测得的氦原子一级电离能是24.6 eV ．若在上述玻尔模型的基础上来考虑电子之间的相互作用，进一步假设两个电子总处于通过氦核的一条直径的两端．试用此模型和假设，求出电子运动轨道的半径 r0 、基态能量 E0 以及一级电离能 E+ ，并与实验测得的氦原子一级电离能相比较．

已知电子质量 m = 0.511 MeV / c2 ，c 是光速，组合常量?c =197.3 MeV ? fm = 197.3 eV ? nm ，ke2 = 1.44 MeV ? fm = 1.44 eV ? nm ，k 是静电力常量，e 是基本电荷量．

2．右图是某种粒子穿过云室留下的径迹的照片．径迹在纸面内，图的中间是一块与纸面垂直的铅板，外加恒定匀强磁场的方向垂直纸面向里．假设粒子电荷的大小是一个基本电荷量 e ：e = 1.60 ×10

－19

C ，铅板下部径迹的曲率半径 rd = 210 mm ，铅

板上部径迹的曲率半径 ru = 76.0 mm ，铅板内的径迹与铅板法线成 θ = 15.0° ，铅板厚度 d = 6.00 mm ，磁感应强度 B = 1.00 T ，粒子质量 m = 9.11 ×10

－31

kg = 0.511

MeV / c2．不考虑云室中气体对粒子的阻力．

（I）写出粒子运动的方向和电荷的正负．

（II）试问铅板在粒子穿过期间所受的力平均为多少牛？

（III）假设射向铅板的不是一个粒子，而是从加速器引出的流量为 j = 5.00 ×1018 / s 的脉冲粒子束，一个脉冲持续时间为?=2.50 ns ．试问铅板在此脉冲粒子束穿过期间所受的力平均为多少牛？铅板在此期间吸收的热量又是多少焦？

第25届全国中学生物理竞赛决赛参考解答

一、

1 ．解法一：设守方队员经过时间 t 在 Ax 上的 C 点抢到球，用 l 表示 A 与C 之间的距离，lp 表示 B 与

图1

C 之间的距离（如图1所示），则有

l = vt ，lp = vpt （1）

2 2和 l2= d+ l－2dlcosθ． （2） p

解式（1），（2）可得

l =

dvp2

)－sin2θ ]1 / 2 }． （3） 2 {cosθ ± [ ( v1－( vp / v)

由式（3）可知，球被抢到的必要条件是该式有实数解，即

vp ≥ vsinθ ． （4）

解法二：设 BA 与 BC 的夹角为 φ（如图1）．按正弦定理有

lp l

= ． sinθsinφ

利用式（1）有

vpsinθ= ． v sinφ

从 sinφ ≤1可得必要条件（4）．

2．用 lmin 表示守方队员能抢断球的地方与 A 点间的最小距离．由式（3）知

lmin =

dvp2

)－sin2θ ]1 / 2 }． （5） 2 {cosθ ± [ ( v1－( vp / v)

若攻方接球队员到 A 点的距离小于 lmin ，则他将先控制球而不被守方队员抢断．故球不被抢断的条件是

lr ＜ lmin ． （6）

由（5），（6）两式得

dvp2

lr ＜ )－sin2θ ]1 / 2 } （7） 2 {cosθ ± [ ( v1－( vp / v)

由式（7）可知，若位于 Ax 轴上等球的攻方球员到 A 点的距离 lr 满足该式，则球不被原位于 B 处的守方球员抢断．

3．解法一：如果在位于 B 处的守方球员到达 Ax 上距离 A 点 lmin 的 C1 点之前，攻方接球队员能够到达距 A 点小于 lmin 处，球就不会被原位于 B 处的守方队员抢断（如图2所示）．若 L ≤lmin 就相当于第2小题．若 L ＞

lmin ，设攻方接球员位于 Ax 方向上某点 E 处，则他跑到 C1 点所需时间

trm = ( L－lmin ) / vr ； （8）

图2

21 / 2

守方队员到达 C1 处所需时间 tpm = ( d 2 + lmin －2dlmin cosθ ) / vp ．

球不被守方抢断的条件是

trm ＜ tpm ． （9）

即 L ＜

vr1 / 2

( d 2 + l2 －2dl cosθ ) + lmin ， （10） minminvp

式中 lmin 由式（5）给出．

解法二：守方队员到达 C1 点的时间和球到达该点的时间相同，因此有

tpm = lmin / v ．

从球不被守方队员抢断的条件（9）以及式（8）可得到

L ＜ ( 1 + vr / v ) lmin （11）

式中lmin也由式（5）给出．易证明式（11）与（10）相同．

二、

1．（I）选择一个坐标系来测定卫星的运动，就是测定每一时刻卫星的位置坐标x ，y ，z ．设卫星在t时刻发出的信号电波到达第 i 个地面站的时刻为ti ．因为卫星信号电波以光速 c 传播，于是可以写出

(x －xi )2 + (y －yi )2 + (z －zi )2 = c2 (t －ti )2 ( i = 1 ，2 ，3 )， （1） 式中 x i ，yi ，zi 是第i个地面站的位置坐标，可以预先测定，是已知的；ti 也可以由地面站的时钟来测定；t 由卫星信号电波给出，也是已知的．所以，方程（1）中有三个未知数 x ，y ，z ，要有三个互相独立的方程，也就是说，至少需要包含三个地面站，三个方程对应于式（1）中 i = 1 ，2 ，3 的情况．

（II）（i）如图所示，以地心 O 和两个观测站 D1 ，D2 的位置为顶点所构成的三角形是等腰三角形，腰长为 R ．根据题意，可知卫星发出信号电波时距离两个观测站的距离相等，都是

L = c?． （2）

当卫星 P 处于上述三角形所在的平面内时，距离地面的高度最大，即 H ．以 θ 表示 D1 ，D2 所处的纬度，由余弦定理可知

L2 = R2 + ( H + R )2 －2R ( H + R ) cosθ ． （3）