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2019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

一、填空题:(本大题共10个小题,共70分,每小题7分.)

uuuruuruuuruuur1.已知向量AP?1,3,PB??3,1,则AP和AB的夹角等于 .

????2.已知集合A?x?ax?1??a?x??0,且2?A,3?A,则实数a的取值范围是 . 3.已知复数z?cos??2?2?32?isin,其中i为虚数单位,则z?z? . 33x2y2a?0,b?0)的左、右焦点,P是4.在平面直角坐标系xOy中,设F1,F2分别是双曲线2?2?1(

ab双曲线右支上一点,M是PF2的中点,且OM?PF2,3PF1?4PF2,则双曲线的离心率为 . 5.定义区间?x1,x2?的长度为x2?x1.若函数y?log2x的定义域为?a,b?,值域为?0,2?,则区间?a,b?长度的最大值与最小值的差为 .

6.若关于x的二次方程mx??2m?1?x?m?2?0(m?0)的两个互异的根都小于1,则实数m的取

2值范围是 . 7.若tan4x?sin4xsin2xsinxsinx3???? . ,则

cos8xcos4xcos4xcos2xcos2xcosxcosx38.棱长为2的正方体ABCD?A其中顶点A保持在z轴上,顶1BC11D1在空间直角坐标系O?xyz中运动,点B1保持在平面xOy上,则OC长度的最小值是 .

9.设数列a1,a2,a3,L,a21满足:an?1?an?1(n?1,2,3,L,20),a1,a7,a21成等比数列.若a1?1,

a21?9,则满足条件的不同数列的个数为 .

10.对于某些正整数n,分数

n?2不是既约分数,则n的最小值是 .

3n2?7二、解答题 (本大题共4小题,每小题20分,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

11.设数列?an?满足:

2nan*?1①a1?1;②an?0;③an?,n?N.

nan?1?1求证:(1)数列?an?是递增数列;

(2)对任意正整数n,an?1??k.

k?1n1x2y212.在平面直角坐标系xOy中,设椭圆E:2?2?1(a?b?0),直线l:x?y?3a?0.若椭圆Eab的离心率为3,原点O到直线l的距离为32. 2(1)求椭圆E与直线l的方程;

(2)若椭圆E上三点P,A?0,b?,B?a,0?到直线l的距离分别为d1,d2,d3. 求证:d1,d2,d3可以是某三角形三条边的边长.

13.如图,圆O是四边形ABCD的内切圆,切点分别为P,Q,R,S,OA与PS交于点A1,OB与PQ交于点B1,OC与QR交于点C1,OD与SR交于点D1,求证:四边形A1B1C1D1是平行四边形.

14.求满足x?x?y?y的所有素数x和y.

3732019年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

参考答案

一、填空题

1.

?4 2.?,13?11? 3.?i U2,3???2232???3?7?4.5 5.3 6.??4,????

??7.3 8.6?2 9.15099 10.17

二、解答题

2nanan?1?111.证明:(1)因为an?1?an?an?1?,且an?0, ?nan?1?1nan?1?1所以an?1?an?0,所以an?1?an,n?N, 所以数列?an?是递增数列. (2)因为an?1?an?所以当n?2时,

*an?1a1?n?1?,

nan?1?1nan?1nan??an?an?1???an?1?an?2??L??a2?a1??a1

?1111??L???1 n?1n?221n1?1??.

k?1k又a1?1?1?1,

所以对任意正整数n,an?1?1. ?kk?1n?3a?2?32,??c?a?2,3,12.解:(1)由题设条件得??从而? 2?b?1.?a?b2?c2?a2,??x2?y2?1,直线l:x?y?6?0. 故所求的椭圆E:4